张宵洋，陈康义，吴新波
(1.九州电子有限公司，山东潍坊 261000；
2.哈尔滨工业大学化工与化学学院，黑龙江哈尔滨 150001)
荷电状态(SOC)是电动汽车锂电池管理系统的重要指标，准确地估计SOC能够保证电池组安全性以及提高电动汽车运行可靠性。目前来说，等效模型的精确表达与估计算法的优化设计是提高SOC估计精度的两大重要技术路线。准确的模型是实现高效、准确估算SOC的前提。流行的模型可主要分为经验模型、电化学模型和电气等效电路模型。在经验模型中，使用数学表达式或多项式来表示锂电池的内部动力学[1]。然而，经验模型总是通过增加更多的参数来提高其精度，这增加了系统的稳定性，但计算量大，不适合在线SOC估计。从基本电化学机理出发建立的电化学模型可以用一系列偏微分方程来描述，有助于我们从微观的角度详细地把握基本反应[2]。但由于计算复杂度太高，使得在实际应用中的难度较大。电气等效电路模型用理想的电路元件来描述电池的端电压，具有复杂度低的优点。比如戴维南模型[3]、双极化模型[4]，PNGV 模型[5]与考虑迟滞效应模型[6]等。分数阶模型(FOM)与整数阶模型(DPM)相比，能够更深入地揭示电池固有的电化学性能[7]。电池内部的电化学反应具有反常扩散、记忆和迟滞等特性，FOM 可以更简洁地描述这些特性。文献[8]利用电化学阻抗谱，分别对锂电池和超级电容进行了分数阶建模。文献[9]证明了存储长度为N的FOM 等价于具有N个RC 分支的DPM，这意味着FOM 可以用较少的电路元件达到相同的精度。因此，大量的研究将FOM 引入到电池研究中。文献[10]比较了多种模型，进一步证明了分数阶模型相比整数阶模型具有更高的建模精度。
文献[11]在FOM 基础上采用扩展卡尔曼滤波算法(EKF)估计SOC，结果表明相比于传统DPM，FOM 具有更高的SOC估计精度。但是EKF 存在对非线性系统线性化处理的截断误差问题。并且，卡尔曼滤波类的算法仅适用于高斯噪声条件下。当处于非高斯白噪声工况下时，估测效果就不尽人意。粒子滤波算法(PF)更适合应用于非线性非高斯系统。该算法在锂电池SOC观测领域中也得到了广泛的研究与应用[12-13]。但PF 算法存在粒子退化的问题，并且需要通过大量的粒子数来保证SOC的估测精度，粒子数的过多增加对硬件提出了更高的计算需求。另外，FOM 中对历史记忆时间长度的叠加运算加剧了算法的计算负担。因此，在不降低SOC估计精度的前提下，对于削减分数阶粒子滤波算法计算量的研究具有重要的科学价值。
综合上述研究现状，本文提出了一种基于简化分数阶模型的自适应扩展卡尔曼粒子滤波的SOC估计算法，然后在动态应力和补充联邦电流工况进行了相应的测试验证。
图1 是整数阶等效电路模型，图2 是分数阶等效电路模型。然而，DPM 不能准确反映电池内部的电化学反应。因此，包含Warburg 在内的分数阶阻抗元件的引入有效解决了这个问题，由此构成FOM。从电化学阻抗谱的角度来看，分数阶阻抗元件构成的电路能够更好地拟合锂离子电池的阻抗特性。
图1 整数阶模型
图2 分数阶模型
对于FOM，模型阻抗的传递函数为：
式中：Z1=(CPE1sα)-1和Z2=(CPE2sα)-1，分别表示CPE1和CPE2恒相位元件阻抗；
ZW=(Wsγ)-1表示Warburg 元件阻抗；
R0为欧姆内阻；
R1、R2为电化学极化内阻；
C1、C2为浓差极化电容；
OCV为开路电压；
i为负载电流；
ut为端电压。
系统输入为u(t)=i(t)，输出为y(t)=OCV(t)-ut(t)，则系统模型由分数阶时域方程表示为：
引入Grünwald-Letnikov(GL)定理：
式中：Dα是微分算子；
表示二项式系数；
Ts表示步长；
[t/Ts]表示[t/Ts]的整数部分；
t表示当前时刻；
j表示步数。
应用式(3)，在k+1 时刻，式(2)表示为：
式中：h是充放电效率；
Cn为电池额定容量；
Ts是采样时间。
通过式(4)发现，随着累加项目数量的增加，硬件的计算负担也随之增加。在实际应用中，考虑到电池模型的精度要求、计算负担和短时记忆原理，求和项可以适当截断。本文将求和上限设定为1，式(4)则可以修改为：
开路电压OCV是电池经过长时间静置得到的，它是能够间接地准确反映SOC大小的重要参数。根据在不同SOC下OCV的测试数据与经验公式(6)，可以得到OCV-SOC曲线，如图3 所示。表1 是OCV-SOC拟合曲线的参数表，表2 是OCVSOC曲线的拟合系数。
图3 OCV-SOC的非线性曲线
表1 OCV-SOC 拟合曲线的参数表
表2 OCV-SOC 曲线的拟合系数
SOC的准确估计依赖于模型参数的准确性。相比于DPM，FOM 增加了系统的非线性特性，所以难以再使用经典的最小二乘拟合法进行参数辨识。而遗传算法可通过模拟遗传生物学的演化过程实现参数寻优，能够应用于非线性系统的参数辨识。因此本文基于FOM，使用遗传算法辨识包括阶次在内的分数阶模型参数，其中选择了端电压测量值与估计值的绝对均方根误差作为遗传算法的适应度函数。辨识结果如表3 所示。
表3 分数阶模型离线辨识参数表
粒子滤波算法不会过分受制于噪声模型的限制，能够适用于非高斯噪声的条件。为了进一步提高估测精度和鲁棒性，本文将自适应扩展卡尔曼滤波(AEKF)作为PF 算法的建议分布函数，即自适应扩展卡尔曼粒子滤波算法(AEPF)。
根据式(5)，对于锂电池的状态方程和测量方程可统一表示为：
式 中：xk=[SOCk u1,k u2,k u3,k]T；
f=Akxk＋Bkuk；
uk=Ik；
yk=Ut,k；
h(xk,uk)=Ckxk＋Dkuk；
wk为过程噪声；
νk为测量噪声。
将锂电池的状态空间方程和已被辨识的模型参数应用到如下所示AEPF 算法的具体步骤，即可实现锂电池SOC的实时估计。
步骤(1)：
初始化，k=0，随机产生n个用于SOC估计初始粒子(i=1,2,…,n)，起始权值w0均为1/N。
步骤(2)：
(a)利用AEKF 更新粒子，在k时刻，对于每一个粒子根据式(7)得到一步预测值
(f)噪声自适应，
步骤(3)：
用高斯分布近似重要概率函数来产生粒子滤波算法的建议分布，计算重要性权重，
步骤(4)：
步骤(5)：
重采样，选择随机重采样方式，依据重要性权重对数据进行压缩和放大。
步骤(6)：
步骤(7)：
令k=k+1，返回步骤(2)循环。
本文所用电池组型号为A123 三元锂离子软包电池，额定容量为24 Ah，充放电截止电压分别为4.2和2.5 V，标称电压为3.6 V。使用MATLAB R2018a 软件编写脚本程序。分别采用动态应力(DST)和联邦(US06)的放电工况对电池进行测试，图4 和图5 分别是DST 和US06 两个测试工况下电流与电压数据。本文基于此数据验证所提出方法的有效性和鲁棒性。
图4 DST工况
图5 US06工况
4.1 不同算法的对比测试
为了突出所提算法在SOC估计上的优越性，用5 种其他算法进行SOC估计，将估计的结果与本文所提出的算法估计的数据进行比较。这6 种算法分别为基于DPM 的EKF 算法(DPM-EKF)，基于FOM 的EKF 算法(FOM-EKF)，基于DPM 的PF 算法(DPM-PF)，基于FOM 的PF 算法(FOM-PF)，基于DPM的AEPF 算法(DPM-AEPF)和基于FOM 的AEPF 算法(FOMAEPF)。
在DST 的测试工况下，图6 为端电压，图7 为端电压估计误差，图8 为SOC估计结果，图9 为SOC估计误差。表4 给出了各算法的SOC和端电压的最大绝对值误差、绝对平均误差和绝对均方根误差。结合下面的图表，从模型的角度，基于FOM 的各算法要比基于DPM 的端电压和SOC的估计误差要小，这体现了模型升级的优点；
从算法的角度，AEPF 算法要比EKF、PF 算法的估计误差要小，估计误差的波动也更加平滑，这体现了算法融合的优势。所以本文所提出的FOAEPF方法具有更高的SOC估计精度。表中SOCmax为SOC最大绝对值误差；
SOCMEAN为SOC绝对平均误差；
SOCRMSE为SOC绝对均方根误差；
Ut,max为Ut最大绝对值误差；
Ut,MEAN为Ut绝对平均误差；
Ut,RMSE为Ut绝对均方根误差。
图6 端电压
图7 端电压估计误差
图8 SOC估计值
图9 SOC估计误差
表4 不同算法估计误差的比较结果
4.2 算法计算量测试
为了进一步测试EPF 的粒子数与估计精度之间的影响，本节分别采用了粒子数为20、50 和200 的条件进行测试。图10 和图11 分别是在DST 和US06 工况下不同粒子数SOC的估计结果。由图可见，电池放电的前期SOC的估计误差较大，这是因为算法在电池放电前期时需要一定的时间来自适应调整，并淘汰掉不适合的粒子。而到电池放电的中后期时，三种粒子数条件下的估计误差基本趋于一致。
图10 DST工况、不同粒子数下SOC的估计结果
图11 US06工况、不同粒子数下SOC的估计结果
图12 是不同粒子数下算法的平均误差与计算时间的比较结果。从图12 可以看出，增加粒子数并没有使SOC估计精度得到显著提高，但增加了较多的运算时间。这说明AEKF算法作为PF 的建议分布函数是有效的，AEKF 算法融合进一步提高了估计器的滤波能力，因此，本文提出的AEPF 算法相比于传统PF 算法能够明显降低计算量。
图12 不同粒子数下算法的平均误差与计算时间的比较结果
本文建立电池分数阶等效模型，对二项式系数的求和项进行了适当截断，比DPM 具有更高的建模精度，能够有效降低因历史记忆数据积累带来的计算量。采用AEPF 算法，避免过度依赖“增加粒子数来保证粒子滤波算法估计精度”的传统方式，使用较少粒子即可满足估计精度需求。AEKF 作为概率密度的建议分布函数，能有效解决PF 算法粒子退化问题。融合算法实现了二次滤波，进一步提高算法估计精度和鲁棒性。
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