郝万亮, 边英杰, 申献芳, 郑金磊
(1. 32145部队，河南 新乡 453000; 2. 66350部队, 河北 保定 071000)
航空装备保障涉及范围广，系统复杂性高，直接关系着航空装备的性能及完好状态。为了提高保障能力，需要对装备状态、装备完好性以及航材备件消耗情况等进行预测，根据预测结果提前采取必要措施预防故障的发生，及时筹备足够的航材备件，提高装备的完好率。因此，科学地预测分析，在航空装备保障工作中起着重要的作用[1]。
一般情况下，对于预测问题，在收集到的数据量较多时，通常采用概率与数据统计的方法进行分析。但是在航空装备保障领域，大多数情况下收集到的数据量少，概率与数据统计方法不能达到较好的预测效果。因此，小样本预测问题一直是不同领域研究的热点和难点，即如何利用较少的数据和较短的时间来获取相对准确的预测数据。近年来，支持向量机(support vector machine, SVM)理论快速发展。它是建立在统计学理论的VC维理论以及结构风险最小化原理基础上，专门针对小样本学习的方法，能够有效避免非线性、高维数、过学习以及欠学习等常见问题。其特点是利用较短的训练时间，达到较强的泛化能力，实用性强[2-5]。而支持向量机回归是SVM的重要分支，在不同领域获得了较为广泛的应用[6-7]。航空装备故障直接影响着装备的完好性以及飞行安全，研究故障发生的规律对于航空备件的存储也有着积极的指导意义。部分专家学者针对此问题采用了一元线性回归、灰色模型、专家判断等方法，取得了一定的进展[8]。本文采用支持向量机回归分析方法，利用LIBSVM软件包[9-11]对某机载设备不同时间段内的故障发生数量进行预测，取得了较好的预测效果。
支持向量机作为一种机器学习方法，是建立在统计学习理论基础上，由Vapnik等人于20世纪90年代中期提出的。它最早应用于分类问题，能够较好地解决样本数量少、维度高的问题；
后逐步应用到回归问题中，称为支持向量机回归[12]。在实际应用过程中，根据是否需要进入高维空间，支持向量机回归有两种方法：线性回归和非线性回归[13]。
1.1 线性回归模型
给定一个线性可分训练样本D={(xi，yi)|i=1,2,……,l}，xi∈Rd，yi∈R，l为训练样本的个数，d为每个训练样本向量的维数。线性回归的问题即求回归函数：
f(x)=(ω·x)+b
(1)
式中，b∈R，(ω·x)为ω与x的内积，且满足结构风险最小化原理。
常用的误差函数有Laplace函数、Huber函数和ε不敏感损失函数，其中ε不敏感损失函数因具有较好的性质而得到广泛的应用，其表达式为：
(2)
当样本点与回归函数的距离均小于ε时，求解式(1)即等同于求解下面的二次凸优化问题：
(3)
(4)
为求解式(4)，引入拉格朗日函数L：
(5)
(6)
将式(6)代入式(4)中，得到对偶优化问题：
(7)
由式(6)可得出：
(8)
(9)
1.2 非线性回归模型
对于非线性回归的情况，支持向量机的处理策略是首先在低维空间中完成计算，然后选择一个核函数K(xi,xj)，该函数能够代替内积运算，并将数据映射到高维特征空间，解决在原始空间中的线性不可分的问题，从而在高维特征空间中构造出最优分离超平面，把不好分的非线性数据分开。将核函数加入优化目标函数中，则式(7)转换为：
(10)
相应的预测函数则为：
(11)
常用的核函数有以下几种：
线性核函数：
K(x，xi)=x·xi
(12)
多项式核函数：
K(x，xi)=(x·xi+l)d
(13)
径向基(RBF)核函数：
(14)
Sigmoid核函数：
K(x，xi)=tanh(kx·xi+θ)
(15)
支持向量机非线性回归利用核函数，将非线性问题转化为线性，提高了对非线性问题的处理效果，避开了显示表达式，具有算法简单、数据计算量小、易于实现等特点。更重要的是，回归函数由支持向量的样本所确定，并非取决于样本的维数，因此不会因样本维数的增加导致计算量的剧增，不用担心维数灾难的出现。
为分析支持向量机回归算法的预测效果，统计了某型直升机直流发电机控制器近三年在使用过程中的故障情况：共有33件发生故障，每件设备故障发生时间分布如表1所示。
表1 直流发电机控制器故障时的工作时间(h:min)
将直流发电机控制器故障发生时间按照从小到大的顺序排列。为了便于分析，将其分成24个故障发生区间Ti=(0，30i)，其中i=1，2，…，24，同时统计出每个区间的故障数量。统计结果如表2所示。
表2 各区间故障数量统计
24个故障区间内直流发电机控制器故障数分为训练数据和测试数据两组。训练数据取前16个值，用于对训练样本进行拟合；
测试数据取后8个值，用来验证算法的拟合效果。计算时采用基于最小二乘法的二次多项式和支持向量机回归两种不同的方法对训练数据进行拟合。
基于最小二乘法的二次多项式对训练数据进行拟合，计算出的表达式为：
y=3.9×10-5x2+0.0353x+0.0196
(16)
利用支持向量机回归对训练数据进行拟合。支持向量机解决非线性回归问题，最重要的是确定不敏感值ε、惩罚系数C以及所用的核函数的参数，因为这些参数直接影响着支持向量机的学习能力，决定着预测效果的好坏。对于核函数的选择，并没有一个确定的指导原则，但是径向基核函数是普遍采用的核函数，其表达式如式所示。为了确定三个最优参数，可逐个分析参数变化对预测效果的影响；
或者利用网格搜索法，通过在支持向量机中输出学习误差进行试验，得到误差最小时所采用的核函数参数值即为需要的最佳参数。经过分析最终确定的参数设置如下：ε不敏感值取0.002，惩罚系数C取23，径向基函数相关参数γ取值2.1e-6。
分别利用二次多项式和支持向量机回归预测模型，对训练数据进行拟合，结果如图1所示。利用两种方法对测试数据的故障数进行预测，预测结果如图2所示，预测误差具体值如表3所示。
图1 训练数据拟合曲线
图2 测试数据预测值
由表3可以计算出，二次多项式和支持向量机回归预测误差绝对值的平均值分别为6.44、0.51，最大预测误差分别为12.70、1.71。由此可知，与二次多项式回归预测相比，利用支持向量机回归算法对直流发电机控制器的故障数进行预测，具有较高的预测精度。因此，支持向量机回归预测方法在航空装备故障预测领域具有较高的推广应用价值，同时对航材备件消耗也具有较好的借鉴作用。
表3 测试数据预测值与实际值比较
支持向量机回归作为一种针对小样本数据进行预测的方法，具有较强的学习能力和泛化能力，在各个领域广泛应用，且取得了较好的效果。本文将支持向量机回归用于航空装备故障数量的预测，建立了回归模型。算例分析表明，该模型具有较高的预测精度。需要指出的是，不同的模型参数对预测精度有着非常大的影响，良好的预测效果需要准确的模型参数，因此对模型参数的确定方法需进一步深入研究。
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