王锦秋 韦 煜 陈小红
(黔南民族师范学院数学与统计学院,558000)
《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:高中数学教学要注重信息技术的深度融合,提高教学的实效性[1]．2018年,教育部在《教育信息化2.0行动计划》中强调:积极推进“互联网+教育”,坚持信息技术与教育教学深度融合[2]．因此,如何促进信息技术与数学教学的深度融合,充分发挥信息技术在数学教学的作用，是当下数学教师需要注重的问题．中国科学院张景中院士团队结合动态几何系统、计算机代数系统、几何定理自动推理等技术，研发了一款跨平台的移动互联网环境下的动态数学学科教学工具——网络画板．该工具具有多终端、资源丰富、使用便捷、易分享、无需下载安装等特点,通过网络在线访问、编辑、下载,可服务于中小学乃至大学的数学课堂教学．与同类型的几何画板、Geogebra等软件相比,网络画板在3D界面、软件操作、自动推理方面都具有较强的优势．
“球的表面积与体积公式”作为立体几何内容重要公式之一,是培养学生空间想象、逻辑推理与数学运算素养的重要载体．同时,“球的表面积与体积公式”的推导过程也是引导学生内化类比、极限与转化思想的重要抓手．本文基于网络画板平台,以“球的表面积与体积”教学为例,探讨网络画板在立体几何教学中的应用．
“球的表面积与体积”是2019年人教A版《数学》必修第二册第八章第三节的内容.教材在处理本节内容时直接给出球的表面积公式,在此基础上，类比圆周长求圆面积的方法，用球的表面积推导球的体积公式,并未给出球表面积公式的具体推导过程．以下将结合网络画板平台,设计“球的表面积与体积”教学．
1.基于生活情境,引入问题
师：我们已经学习了圆柱、圆锥、圆台的体积与表面积的相关内容，本节课将在此基础上进入球的表面积和体积的学习.请同学仔细观察西瓜、橙子、足球和篮球图片，归纳总结四个物体的形状特点.球是生活中常见的几何体之一,如西瓜,橙子,足球,篮球等．在日常生活中,怎样衡量这些物体的大小呢?
预设回答:通常用物体的体积来比较它们的大小．
问题1已知某型号足球的直径为21.5厘米，制作一个该型号足球至少需要多大面积的皮革材料?一个该型号足球的体积是多少?
设计意图从生活中真实的例子入手,直观感受球体在生活中的广泛存在．问题引入,激发学生思考,引入新知识的学习．
2.类比推理，构建新知
问题2你还记得小学时学习圆的面积公式时是怎样推导出圆的面积公式的吗?
预设生1:将圆分解成许多小扇形,再拼成长方形,通过计算长方形的面积来计算圆的面积．
预设生2:将圆分解成许多横条,再组成三角形,通过计算三角形的面积来计算圆的面积．
师:类比这些思路,你能想到怎样求球的表面积或者体积公式吗?
预设回答:可以将球分解为很多个锥体,再通过求锥体的体积进而得到球的体积．
活动1球的表面积与体积关系推导
第一步:分割(教师演示)
借助网络画板,展示三维空间中的球体(图1、图2),并将半径为r的球分解成n个小锥体．当n趋近于无穷时,每个网格越小,小锥体的底面就越平,越接近棱锥,且棱锥的高越接近球半径r．
第二步:近似求和
第三步:取极限
师:你得到什么结论?
设计意图在学生已有知识基础上类比圆的面积公式推导方法推导球的体积公式,借助网络画板平台,直观展现球体的分割过程,让学生初步感受“分割”、“近似求和”、“取极限”的极限思想与转化思想,提升学生的数学运算、逻辑推理、直观想象素养．
师:看来只要给出球的表面积公式或者体积公式,就可以利用两者间的关系推出另一个!类比求圆的面积的思路方法,你能推导出球的体积公式或者表面积公式吗?
预设回答:可以将球的体积分割为若干个圆台体积之和．
活动2球体积与表面积公式的推导
第一步:分割(教师指导,学生操作)
借助网络画板,作出三维空间中的球体,并将球分为n个等高的圆台,最外围的虚线表示球体的外轮廓,中间彩色的部分表示分割得到的小圆台．指导学生调节n的大小,让学生直观感受n不同值时,球体被分割的情况.如图3、图4,展现当n=20与n=100时,同一个球体的分割情况.由图可知,当n=20时,球体与圆台间的缝隙比较大；
当n=100时,球体与圆台间的缝隙很小．
学生自主归纳:当n越大,球分割的程度越细,当n趋近于无穷时,圆台的体积和即为球的体积．
第二步:近似求和
第三步:取极限
设计意图经历球的体积、表面积推导的基本思路:分割→近似求和→取极限,为今后学习微积分部分内容作铺垫．将球转化为若干个圆台的组合体,体现转化思想．通过网络画板的直观演示发展学生的直观想象素养、通过球体积公式的推导培养学生逻辑推理与数学运算素养．
3.首尾呼应，巩固新知
例1已知某型号足球的直径为21.5厘米,制作一个该型号足球至少需要多大面积的皮革材料?一个该型号足球的体积是多少?
例2火星的半径约是地球的一半,地球表面积是火星的多少倍?
设计意图首尾呼应,从问题中来,再回到问题中去,引导学生感悟数学来源于生活,用于生活．
4.趁热打铁，课堂练习
(1) 两个球的体积之比为8∶27,则两个球的半径之比为多少?
(2) 如图6,某品牌时间胶囊由一个圆柱和两个半球黏合制成,半球的直径为0.3 m,圆柱高0.2 m．如果每个时间胶囊都需要涂抹防水涂料,且每平方米需要0.2 kg防水涂料,那么100个同规格的时间胶囊需要多少防水涂料?
设计意图通过解决实际问题,提升学生应用数学知识解决问题的意识及能力．
5.总结回顾
师:同学们,今天学习了哪些数学知识?体会了什么数学思想呢?
学生活动:总结今天所学的数学知识与思想方法．
6.分层设计，灵活做题
(1)必做题:将一个棱长为5 cm的正方体铁块磨制成一个球体零件,求可能制作的最大零件的表面积和体积．
(2)选做题:在球心同侧有相距8 cm的两个平行截面,它们的截面面积分别为36π cm2和100π cm2,求球的表面积．
(3)探究题:祖暅是中国南北朝时期的数学家,他提出了著名的祖暅原理.请查询相关资料,了解祖暅原理的内容,并用祖暅原理推导球的体积公式．
设计意图作业分层布置,满足不同学生发展的需要,使不同的学生都能得到提高与发展．
1.重视学生主体地位,发挥教师主导作用
学生是课堂教学活动的主体，在教学活动中要能动地根据已有认知经验建构数学知识,体验知识的发生发展过程．教师是学生学习活动的主导者、引路人，在网络画板融入数学教学的过程中,容易忽视学生,剥夺学生的主体地位．因此,在课堂教学中,应充分发挥学生主体地位,调动学生学习的积极性与主动性,引导学生参与课堂活动,让学生经历自主“做数学”的过程,主动建构数学知识．教师利用活动1通过网络画板的演示,引导学生发现球的表面积与体积的关系;活动2引导学生动手操作,调节分割参数n,让学生直观感受不同分割程度下球的体积与圆台体积之和间的差距，培养学生自主探究、发现规律、总结表达能力．
2.注意网络画板与数学教学的深度融合
网络画板融入数学教学是信息技术与数学教育深度融合的重要体现．网络画板融入数学教学,是以其工具性与思想性融入数学教学全过程,通过营造新型教学环境和改变以往传统的教学方式,服务数学教学．网络画板为立体几何教学提供了丰富多彩的教学资源,它可以充分激发与调动学生的积极性和主动性,化抽象为直观,把复杂难懂的立体几何变得容易理解,将以往枯燥乏味的数学教学氛围变得轻松活跃．但作为数学教师,应该明晰网络画板的作用是服务于教师更好地呈现教学内容、教学过程,努力再现知识的发生发展过程,帮助学生更好地理解数学知识,帮助教师传授知识和创设情境,提高学生学习效率．在本次教学中，利用网络画板直观展示球分割为圆台的过程，感受极限思想，并引导学生得出球的体积与圆台体积和之间的关系，但在推导证明过程中，应引导学生将该关系代数化，引导学生自主动手推导球的体积公式，不能完全依赖网络画板机械地演示推导过程.
3.促进学生核心素养的提升
将网络画板融入数学教学时,应基于学生的已有认知发展水平及其最近发展区,按照由浅入深、由易到难的顺序去教学,在教学过程中，注重引导学生学会自主利用网络画板强大的功能来探究数学知识、感悟数学思想、解决数学问题,培养学生学习数学的兴趣．在本次教学中，学生类比圆面积公式的两种推导方法分别推出球的体积公式以及球的表面积与体积的关系.这些都是基于学生已有认知经验，从学生的最近发展区出发，借助网络画板平台，结合锥体、圆台的体积公式，用极限思想将球分割为若干个锥体或者圆台的体积和，化未知为已知，引导学生体验数学的极限思想、类比思想、转化思想，培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
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