下面是小编为大家整理的专题1.13导数-零点问题（原卷版）（精选文档）,供大家参考。
专题 1.13
导数-零点问题
1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解． 3．利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想； （2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题； （3）分离参变量，即由 ( ) 0 f x 分离参变量，得( ) a x ，研究直线 ya 与 ( ) y x 的图象的交点问题．
1．已知函数 2 21 1ln2 4f x x ax x x ， a R ． （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）若函数 f x 在 1,4 上恰有两个零点，求实数 a 的取值范围．
2．已知函数 ln f x x x ． （1）求证：
1 f x ； （2）若函数 xxh x af x ae R 无零点，求 a 的取值范围．
3．已知函数 21 ln 0 f x x a x a ． （1）当 1 a 时，求 f x 的单调区间； （2）讨论 f x 零点的个数．
4．已知函数 e 2 0xf x a x a ． （1）若e a ，讨论 f x 的单调性； （2）若1x ，2x 是函数 f x 的两个不同的零点，证明：1 21 2ln ln2 x x a ．
5．已知函数 f(x)＝lnx＋122x ＋ax(a∈R)，g(x)＝ e x ＋322x ． （1）讨论 f(x)的单调性； （2）如果函数 F(x)＝f(x)－g(x)存在零点，求实数 a 的最小值．
6．已知函数 f(x)＝x－alnx （1）求函数 f(x)的极值点； （2）若方程 f x k 有 2 个不等的实根1 2, x x ，证明：1 22 x x a ．
7．已知函数 lncos2xf x x ， sin g x f x x ． （1）求 g x 在点 ( ) ( )1, 1 g处的切线方程； （2）求证：当 , x 时， f x 有且仅有 1 个零点．
8．已知函数 ln 2 f x x x ， 22 2 g x x x ， h x f x g x ． （1）求函数 h x 的极值； （2）若 0 m ，研究方程 mf x g x 的根的个数，
9．已知函数 ln f xx mx m R ． （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）若函数 f x 存在两个不同的零点1x ，2x ，证明：
1 22 m x x ．
10．已知函数 lnaf x x bx （其中 a ， b 为参数）． （1）求函数 f x 的单调区间； （2）若 1 a ，函数 exg x f x 有且仅有 2 个零点，求 b 的取值范围．
11．已知函数 1ln 1 f x t xx ． （1）若 1 t ，求证：
0 f x 恒成立； （2）当 1 t 时，求 f x 零点的个数．
12．已知函数 ( ) e ,xf x x a a R ． （1）当 0 x 时，讨论函数( ) f x 的单调性； （2）若方程( ) 0 f x 有两个不相等的实数根 1 2 1 2, x x x x ，证明：1 22 x x ．
13．已知函数 ln f x x x ． （1）求证：
1 f x ； （2）若函数 0e xxg x af x a 有两个零点，求 a 的取值范围．
14．已知函数 ln e 1xf x ax x ． （1）若 f x 在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （2）当 0 a 时，若 f x 存在唯一零点1x ，极值点为2x ，证明：2 12x x ．
15．已知函数 1ln f x a x ax R ． （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）当 1 a 时，若函数 11 f x mx mx R 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：
122x xm ．
16．已知函数 ln1 f x x ax a R ． （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）若函数 f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围；（注：要求取点，利用函数零点存在定理进行求解）
（3）在第（2）的条件下，设 f x 的两个零点1x ，2x 且2 12 x x ，求证：2 31 25256ex x ．
17．已知函数 e 20xf x ax a ， F x f x 且 0 1 F ． （1）若 0 x 时，不等式 1 F x x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 1 a 时，求函数 cos g x f x x 在,2 上的零点个数．
18．已知 0,1 x 时，函数 e 2xf x x 的图象恒在直线 1 0 x y 的上方． （1）求证：当 0,1 x 时．3ln e x x x x ； （2）求函数 cos g x f x x 在,2 上的零点个数．
19．已知函数 lncos2xf x x ．求证：
（1）
22 1 2 xf x x ； （2）当 0,π x 时， f x 有且仅有 2 个零点．
20．已知函数( ) ln 2sin f x x x x ． （1）证明：( ) f x 在区间π0,2 存在唯一的极值点；
（2）试讨论( ) f x 的零点个数．
21．已知函数 ( ) e sinxf x ax x bx c 的图象与 x 轴相切于原点． （1）求 b ， c 的值； （2）若( ) f x 在 (0, ) 上有唯一零点，求实数 a 的取值范围．
22．已知函数 ln1xf x ax ，（其中 a 为非零实数）
（1）讨论 f x 的单调性：
（2）若函数 e x g x f x （e 为自然对数的底数）有两个零点1 2, x x ，求证： 1 221 2ex xx x ．