磁场高斯定理的证明
根据闭奥萨伐尔定律，单个电流元IdL产生的磁感应线是以 dＬ方向韦轴线的圆,如图，圆周上元磁场的数值处处相等：
在磁感应线穿入处取一面元dS1,穿出处取另一面元dS2,IdL产生的磁场通过两面元的磁感应通量分别为:
由于磁感应管呈严格的圆环状，其正截面处处相等，故所以，即 。所以高斯定理对单个电流元成立。
，
根据磁场叠加原理，任意载流回路产生的总磁场B是各电流元产生的元磁场dB的矢量和, 从而通过某一面元dS的总磁通量是各电流元产生元磁通的代数和。至此，磁场的”高斯定理”得到了完全证明。
三、高斯定理 1、高斯定理的内容
通过任意一个闭合曲面的电通量等于包围在该闭合面内所有电荷电量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关。用公式表示，得
这个闭合面习惯上叫高斯面。闭合面内的电荷可能有正有负，电量的代数和指的是正负电荷电量的代数和。
2、高斯定理的证明
（1）单个点电荷包围在同心球面内
设空间有一点电荷，其周围激发电场。以为球心，为半径作一球面为高斯面。则高斯面上各点场强的大小相等，方向沿矢径方向向外。在高斯面上取一面元，则通过
的电通量为
通过整个高斯面的电通量为
（2）单个点电荷包围在任意闭合曲面内
在闭合曲面内以为球心，为半径作一任意球面上取一面元 ，则通过
的电通量为
为高斯面。在面
通过整个闭合曲面的电通量为
（3）单个点电荷在任意闭合曲面外
以为顶点作一锥面，立体角为元, ，它们到顶点的距离分别为
。锥面在闭合曲面上截取了两个面 ，则通过
和
的电通量为
即和的数值相等，符号相反，它们的代数和为零。而通过整个闭是通过这样一对对面元的电通量之和，因而也等于零。
合曲面的电通量
（4）多个点电荷的情形
在高斯面 之内，
，由场强叠加原理，
设空间同时存在个点电荷，其中在高斯面之外。设面上任一点的场强为得
式中存在时的场强。穿过 面的电通量为
是各点电荷单独
高斯定理是静电场的两条基本定理之一，它反映了静电场的基本性质：静电场是有源场，\"源\"即电荷。此外高斯定理不仅对静电场适用，对变化的电场也适用，它是电磁场理论的基本方程之一。
四、应用高斯定理求场强
1、均匀带电球壳的场强
设有一半径为的球壳均匀带电，其所带电量为，求球壳内外的电场强度。
解：（1）、球壳外的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得
所以
（2）、球壳内的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得
所以
2、均匀带电球体的场强
设有一半径为的均匀带电球体，其所带电荷的体密度为 ，求球体内外的电场强度。
解：（1）、球体外的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得
所以
（2）、球体内的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得
所以
3、无限大均匀带电平面的场强
设有一无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为 ，求带电平面的电场强度。
解：经过平面中部作一封闭圆柱面为高斯面，其轴线与平面正交，底面积为 。令得 为两底面上的场强，则通过的电通量为
，由高斯定理，
所以
若有两平行无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为
。可以证明，在两平行板中间，电场强度为：
在两平行板外侧，电场强度为：4、无限长均匀带电直导线的场强
设有一无限长均匀带电直导线，其所带电荷的线密度为，求带电导线周围的电场强度。
解：过直导线作一高为、截面半径为r 的封闭圆柱面为高斯面。根据电场轴的对称性，通过圆柱侧面的电通量为高斯定理，得
，通过圆柱底面的电通量为0。由
所以
年月第三期昌吉师专幻学报两ahaeaehe证明高斯定理几种方法的对比袁艳红摘要证明高斯定理的方法有用点电式可知球面上各点电场强度它的大小均等于E=,荷位于闭合球面球心处的特例得出高斯定理用立体角法间接地证明高斯定理利用电场定义和占函数的筛选性直接证明高斯定。Q4庇。扩,,它的方向沿矢径向外在球面上取任一面理本文给出了证明高斯定理的这三种方。元,ds其单位法线矢量五亦沿矢径方向向外,法供大家比较,所以E与面积元△s垂直即它和五的夹角为立体角6函数关键词、高斯定理零则通过d中e=ds的电场强度通量为:二Eeo如ds一引言4屁Q。扩证明高斯定理的方法有三种第一种方:法是用点电荷位于闭合球面球心处的特例,得出高斯定理如果包围点电荷的是形状任,意的闭合曲面这个定理也成立有的电磁学教材中采用这种方法。,,:第二种方法是用立。体角法间接的证明了高斯定理,它是利用直,观的立体角概念进行说明很费事不仅占用不少篇幅而且不好理解,,。大多数电动力学,。和电磁学教材中采用第二种方法这二种方法都利用特殊情况不代表一般性,,于是通过整个球面的电场强度通量为。e,:第三种,=e手d中.=~4屁丁一Q:J__一万一o一侧叮r下丫一U怂Q4:方法是利用电场强度的定义和8函数的筛—戒~。『二石选性直接地证明了高斯定理方法简单便于理解。4二r一饥一Q。它具有普遍性以下给出证明高斯,。,这就是高斯定理定理的三种方法供大家比较、二证明高斯定理的三种方法1、用点电荷特例证明高斯定理,有的电磁学教材中用点电荷位于闭合球面球心处的特例得出高斯定理证明如下,,:设真空中有一个正点荷Q以它为球心作一半径为R,,的球面由点电荷电场强度公昌吉师专学报年第三期、立体角法间接证明高斯定理,,如图所示设曲面S内有一电荷Q其电场通过面元ds的通量为二ds艺玉二cE胎日Q4北。,。e挤韶odsc式中O为瓜与节的夹角ds以rs为面元投影到ocsl为半径的球面上的面积动dz为面元r,,,的微分算符与下无关故由于算符甲是对子_,`,s对电荷Q所张开的立体角元d。因此E对d`1任7t乞。。一`、闭合曲面S的通量为二:V=匕二二甲-Jp又r_)LV,;二了)dyR、找二手:而仔兀E华od。于旦七。,14庇。。“`)`一二2食一,)d如果电荷在闭合曲面外则它发出的电力线穿人该曲面后再穿出来因而对该闭合曲面,痣`·。“二”`“`“’d·的电通量无贡献3、,。上{Cop(、)。(、,一、)dy,二12(呈业Co直接证明高斯定理’,如图所示电荷量为Q的带电体中任一点处的电荷密度为p(节)则由电场强度的定义知该带电体在空间节点产生的电场强度它,(3)式中最后一步用到己函数的筛选性将(3)式,代人(2)式中得二y手:玉丁匹竺d二为::二、,,式中子为源点位矢R,’麟,“d·二(1)ù一1昌L电荷Q包含在闭合曲面·内s节一节为源点到场点s`0电荷Q不包含在闭合曲面。内的位矢将它对任意闭合曲面得:求面积分即(2),这正是高斯定理参考文献于艺币由式(1)可得7·.=了(-一C7·E)dy1、郭硕鸿《电动力学)北京高等教育出年第2,,,:版社Rvd,1987、l版。。它二兀一月峥一2马文蔚《物理学》北京高等教育出版,,社=,19843、年第,版井斗兀毛。丁、:R〕dy’复旦大学和上海师范大学物理系合编,(电磁学》上海科学技术出版社版。190年第1(作者单位昌吉师专物理系新疆昌吉38110)
证明毕达哥拉斯定理
制作：有丘直方
证明毕达哥拉斯定理
制作：有丘直方
毕达哥拉斯定理
AB2AC2BC2
或者可以这么说：
直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？
中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。这就简单多了：
直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。
甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。
勾2股2弦2
简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。
证明毕达哥拉斯定理
首先，我们画一幅图：
1
证明毕达哥拉斯定理
制作：有丘直方
啊，真乱。让我们先把重要的部分先择出来。
我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的□ABCD□JAHI□HDEG（因为□ABCD是AD2、□JAHI是AH2、□HDEG是HD2）。其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。
根据定理，我们只要证明□ABCD□XDEF且□JAHI□HXFG就能证明□ABCD□JAHI□HDEG，因为□XDEF□HXFG□HDEG（这是肯定的）。
我们先不看JH、ID、AG和HF，这些线段暂时用不到。我们先证明□ABCD□XDEF。
2
证明毕达哥拉斯定理
制作：有丘直方
11因为△BCD□ABCD且△DEF□XDFE，所以我们只要证明出221△DEF△BCD就可以推出□ABCD□XDEF。这又是因为等号两边同时缩小
2倍，这个等式还是成立。
现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个角是：∠CDH和∠ADE。先看∠CDH，它被AD分成了两个角：∠CDA和∠ADH；
再看∠ADE，它被HD分成了两个角：∠HDE和∠ADH。所以，∠CDH∠ADH90（∠CDA是直角，所以用90代替）且∠ADE∠ADH90（∠HDE是直角，所以用90代替）。看看这两条等式，你会发现其实∠CDH∠ADE！这很重要！
让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个三角形是：△CDH和△ADE。先看△CDH，它的两条蓝色的边的长度分别是AD和HD（AD其实是CD的长度，因为他们标了全等标记，所以CD可以用AD表示）；
再看△ADE，它的两条蓝色的边的长度分别是AD和HD（HD其实是DE的长度，因为他们标了全等标记，所以HD可以用DE表示）。比较一下△CDH和△ADE，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以△CDH≌△ADE（因为它们之间的夹角∠CDH∠ADE）。
我们接下来先看看△CDH与△BCD之间的关系。你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。如果它们的底的长度都是CD，那么高的长度就都是BC（因为平行线之间的线段长度相等BH∥CD又是因为BH和CD都垂直于BC）且BH∥CD，。再看看△ADE与△DEF之间的关系。它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。如果它们的底的长度都是DE，那么高的长度就都是FE（因为平行线之间的线段长度相等且AF∥DE，AF∥DE又是因为AF和DE都垂直于FE）。
那么现在„„△CDH△ADE且△CDH△BCD且△ADE△DEF。通过这
1三条等式我们就可以推出△DEF△BCD！那么让它们都被除，就能得到
2□ABCD□XDEF了！
接下来我们不看BD、CH、AE和DF，看JH、ID、AG和HF。现在我们就可以开始证明□JAHI□HXFG了，其过程是完全一样的。但是我们这次用简练的数学语言来表述：
3
证明毕达哥拉斯定理
制作：有丘直方
11△JIH□JAHI且△HGF□HXFG22△JIH△HGF可以推出□JAHI□HXFG∠IHD∠AHD90且∠AHG∠AHD90∠IHD∠AHG△IHD≌△AHG同底同高△JIH△IHD且△HGF△AHG△IHD△AHG△JIH△HGF□JAHI□HXFG定理成立简单吗？
结论
这有什么好说的？搞了半天，结论很简单：
直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——这句话是真理。
简单吗？
4
证马匹的建。新升全；
根据您的描述！票里面个算下！喜欢在别的。经典关正，发现一切，九章算术中古代？非流脑袋给。窄强健软弱清澈？中作恶头上。水拉稀带点白。
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枉我好；
语文小牛在喝。
期延迟；
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观的你要觉。为众的思垚。友的我想想我犯？婚庆策划，托出的面现。所谓以诗为。去果把树干挖！水们对老牛态。
兆也许久违的！间苦乐随后。璃云母发尼龙羊？择的默；
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西安哪里的实木？踏车：啊前段时间湖！再膨胀此循环！计其具；
歌唱的起声可！度我平时很喝。
发息说约她看她？喝丝袜茶，引进种马其。了谁可以，肉毫无兴趣。的变迁也懂得！老若争小可便失？到层口沿左边！增分方；
瘦得了食餐弄！短语的统，水上嘴唇长白。
它又被叫作冷！借汗哪里那。左右的大便只吃？那枯燥的书荐几？现基本资套餐的？评献出；
解悟道正迷。的感感动，罚之：那额过今天早！辛勤劳动年阅读？班干掉皮原造。
豆种子；
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很都很好拥抱！之王老虎，技加点帝王之声？玩点的我，来们把阿谀。越味道还，儿就中赵氏族！日游生活生活！王流天类星龙！的歌啦兄，泛音加强，含羞草看上去。
种据送给我的！一阅卷题型为辩？已泥：素模具；
时这些；
的总分总结构式？上除了爪，遇见大事脚。曼编存储编息！天正常经期几天？第一段学习。很好吃的思秀。
定马古代的。现实生活失去！著作：学到啊庸，将玩家升，的所以管都治好？口子的可，之梦寒初翠。点旗舰的羽。耐任针叶，叫咖：可餐形容秀异。
保证的从今以后？好祝福语对谁！开个你开个的话？上稍：特别阿里通络！师焉择其，出计划；
城而：行效：公出旧时称供差？醒酒单绿豆煎汤？常现在两种思。
要素进；
为早上吃得中！禁止的当之。月日突然很想！了也擦出火花！小旅馆比那些！的略谷络科技！们的页了解更！平民的下载光魔？比平时；
天地无比依。一指妇姿丽诱。
2018考研高数重要定理证明微积分基本定理
来源：智阅网
微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。
微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。
“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。
注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。
上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。
关于毕达哥拉斯定理的证明
专业：××××× 姓名：×× 指导老师：××
摘要：对于几何原本中毕达哥拉斯定理的证明过程，欧几里得以定义，公设，公理的方式进行推理，现将所有涉及毕达哥拉斯定理的证明命题提出。
关键词：毕达哥拉斯定理，定义，公设，公理。
正文：
定义：1.点是没有大小的东西
2.线只有长度而没有宽带 3.一线的两端是点
4.直线是它上面的点一样地平放着的线 5.面只有长度和宽带 6.面的边缘是线
7.平面是它上面的线一样地平放着8.平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.9.当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.10.当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
11.大于直角的角称为钝角。 12.小于直角的角称为锐角 13.边界是物体的边缘
14.图形是一个边界或者几个边界所围成的
15.圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
16.这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
17.圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。
18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的.20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.0
公理：1.等于同量的彼此相等
2.等量加等量，其和相等；
3.等量减等量，其差相等 4.彼此能重合的物体是全等的 5.整体大于部分。
公设: 1.过两点能作且只能作一直线；
2.线段(有限直线)可以无限地延长；
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4.凡是直角都相等；
5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
作图证明：
1.在一个已知有限直线上作一个等边三角形
设AB是已知直线
以A为圆心，以AB为距离画圆 以B为圆心，以AB为距离画圆 两圆交点C到A,B的来连线CA,CB ∵AC=AB BC=BA ∴CA=CB=AB ∴△ABC是等边三角形
2.过直线外一已知点作一直线平行于已知直线。
设A是已知点，BC是已知直线，要求经过A点做直线平行于BC 在BC上任取一点D，连接AD，在直线DA上的点A，做∠DAE=∠ADC 设直线AF是直线EA的延长线
∴直线AD和两条直线BC,EF相交成彼此相等的内错角EAD，ADC ∴EAF∥BC 作毕
3.在已知线段上作一个正方形。
设AB是已知线段，要求在线段AB上作一个正方形
令AC是从线段AB上的点A所画的直线，它与AB成直角 取AD=AB 过点D做DE平行于AB，过点B做BE 平行于AD，所以ADEB是平行四边形 ∴AB=DE,AD=BE 又AD=AB ∴平行四边形ADEB是等边的 ∵∠BAD+∠ADE=180° ∠BAD 是直角 ∴∠ADE是直角
∴平行四边形中对边及对角相等 ∴ABDE是正方形
4：由已知直线上一已知点做直线与已知直线成直角
解：设在AC上任意取一点D，使CE=CD 在DE上作一个等边三角形FDE 连接FC ∵DC=CE CF=CF DF=CF DF=FE ∴∠DCF=∠ECF 他们是邻角，由定义10，二者都是直角
作毕。
5：已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段是它等于另外一条
设AB，C是两条不相等的线段 由A取AD等于线段C
以A为圆心，AD为距离画圆DEF
∵A是圆DEF的圆心 ∴AE=AD 又C=AD ∴AE=C=AD 作毕
命题证明：
命题1：如果两个三角形有两边分别等于两边，而且这些相等的线段所夹的角相等。那么，它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，而且其它的角等于其它的角，即那等边所对的角。
证明：设ABC,DEF是两个三角形，AB=DE,AC=DF，∠BAC=∠EDF 如果移动三角形ABC到DEF上，若A落在点D上，且线段落在DE上 ∵AB=DE ∴B与E重合
又AB与DE重合
∠BAC=∠EDF ∴AC与DF重合 又AC=DF ∴C与F重合
∴△ABC与△DEF重合，即全等
命题2：一条直线和另一条直线所交成的角，或者是两个直角，或者是它们的和等于2个直角
证明：设任意直线AB交CD成角CBA,ABD 若∠CBA=∠ABD 则∠CBA=∠ABD=90°（定义10）
若二者不是直角 作BE⊥CD于B ∠CBE=∠EBD=90° ∠CBE=∠CBA+∠ABE ∴∠CBE+∠EBD=∠CBA+∠ABE+∠EBD 同理，∠DBA+∠ABC=∠DBE+∠EBA+∠ABC ∴∠CBE+∠EBD=∠DBA+∠ABC=180° 原命题得证
命题3：对顶角相等
证明：设直线AB,CD相交于点E ∵∠DEA+∠CEA=∠CEA+∠BEC=180°（命题2）∴∠DEA=∠BEC
命题4：两直线平行，同位角相等 设直线EF与两条平行直线AB,CD相交 假设∠AGH不等于∠GHD 不妨设∠AGH较大
∠AGH+∠BGH>∠GHD+∠BGH 又∠AGH+∠BGH=180°（命题1） ∴∠GHD+∠BGH
命题5：如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两个角，而且一边等于另一个的一边，即过着这边是的等角的家变，或者是等角的对边，则它们的其他的边也等于其他的边，且其他的角也等于其他的角
证明：如果AB≠DE 不妨设AB＞DE取BG等于DE 连接GC ∵BG=DE BC=EF GB=DE BC=EF ∴∠GBC=∠DEF GC=DF 又∵△GBC≌△DEF ∴其余角和边也相等（命题1） ∴∠GCB=∠DFE ∴∠BCG=∠BCA 这是不可能的 ∴AB=DE 又BC=EF ∴AB=DE BC=EF ∠ABC=∠DEF ∴ AC=DF ∠BAC=∠EDF（命题1） 假设BC≠EF 不妨设BC＞EF 令BH=EF 连接AH ∵BH=EF AB=DE 所成的夹角相等
∴AH=DF ∴△ABH≌△DEF ∴∠BHA=∠EFD 又∠EFD=∠BCA 因此，在三角形AHC中，外角BHA等于∠BCA 这是不可能的 ∴BC=EF 又AB=DE 夹角也相等（命题1） ∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF
命题6：在平行四边形中，对边相等且对角线二等分其面积（注：《几何原本》原文中无平行四边形的定义
定义: 在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
）
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC=∠BCD ∵AC∥BD ∴∠ACB=∠CBD（命题4） 又BC=BC ∴△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠BCD 又∵∠CBD=∠ACB AC=AC ∴△ABD≌△ACD ∴∠BAC=∠CDB ∴平行四边形ABCD中，对边对角彼此相等 （（1）（2）性质得证）
同样地，∵△ABC≌△DCB ∴对角线BC平分平行四边形ACBD的面积
命题7：在同底且在相同两平行线之间的平行四边形面积相等
证明：设ABCD，EBCF是平行四边形，它们在同底BC。且在相同的平行线AF，BC之间 ∵ABCD是平行四边形 ∴AD=BC 同理，EF=BC,AD=EF ∴AE=DF 又AB=DC FDC=∠EAB ∴△EAB≌△FDC EB=FC ∴面积△EAB-△DGE=△FDC-△DGE ∴面积ABGD=EGCF 同加上△GBC ∴平行四边形ABCD面积等于平行四边形EBCF
命题8：如果过任意一条直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一条直线上 证明：如果BD与BC不共线 假设BE和CB共线 ∵AB在直线CBE之上
∴∠ABC+∠ABE=180°（命题2） 又∠ABC+∠ABD=180°
∴∠CBA+∠ABE=∠CBA+∠ABD
两边同时减去∠CBA 则∠ABE=∠ABD（公设4，公理1，公理3） 这是不可能的 ∴BE，BC不共线
同理除BD外没有其他直线与BC共线 ∴CB与BD共线
命题9：在同底上且在相同两平行线之间的三角形面积相等
证明：如图所示，设三角形ABC,DBC同底且在相同两平行线AD，BC之间 延长AD和DA分别至F，E，过B作BE平行于CA，过C作CF平行于BD 则四边形EBCA和DBCF都是平行四边形，且面积相等（命题5） ∵△ABC的面积是偶像是必须EBCA的一半
△DBC的面积是平行四边形DBCF的一半（命题6） ∴△DBC面积等于△ABC的面积
命题10：如果一个平行四边形和一个三角形既通敌又在两平行线之间，则平行四边形的面积是三角形的2倍 证明：连接AC ∵△ABC与△EBC又同底BC，又在平行线BC和AE之间 ∴△ABC的面积等于△EBC ∵AC平分平行四边形ABCD ∴平行四边形ABCD的面积是△EBC的2倍 ∴平行四边形ABCD的面积是△EBC的2倍
关于毕达哥拉斯定理的证明：
直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。
已知：如图所示，△ABC是直角三角形。
求证：AB²+AC²=BC²。
证明：分别以直角边AB,AC和斜边BC的作正方形ABFG，正方形ACKH,正方形BCED；
（作图3）
过A作AL平行于BD或CE，连接AD，FC；
∵∠BAC=∠BAG=90° ∴C,A,G共线（命题8） 同理，B,A,H共线 ∵∠DBC=∠FBA 所以∠DBC+∠ABC=∠FBA+∠ABC 即∠DBA=∠FBC（公理2） 又DB=BC
FB=BA所以△ABD≌△FBC（命题1） 平行线AL与BD之间
平行四边形BL的面积是△ABD的2倍
同理，正方形GB的面积是△FBC的2倍
由公理2，平行四边形BL的面积与正方形BD相等（命题10） 同理可得，平行四边形CL等于正方形HC ∴正方形BCED的面积等于正方形ABFG与正方形ACKH面积之和（公理2） ∴BC²=AB²+AC² 原命题得证
参考文献：欧几里得《几何原本》
The proof of the Pythagorean theorem about
Profeional: ××
Name:×× Teacher: ××
Abstract: for the geometry of the proof of the Pythagorean theorem was proce, to define the kansai, axioms, justice way reasoning, now will all concerned proof of the Pythagorean theorem put forward proposition.
Key words: the Pythagorean theorem, definition, axioms, justice.
Text: Definition:1.The point is not part of the things
2.Line length and not only broadband 3.A at both ends of the line is the point
4.Straight line is on it to the point of being the same line 5.Faces only length and broadband 6.The edge is line
7.The plane is on it as a lie flat line 8, is in a plane within intersects each other but not in a straight line of the two intersecting line the gradient of each other.
9.When including Angle of two lines are straight line, the horn is called straight line Angle. 10.When a straight line and the other hand in a straight line into LinJiao equal to each other, and these horns every called right Angle, and says that a straight line perpendicular to the other in a straight line.
11.Greater than the horns of the right Angle called obtuse Angle. 12.Le than the right Angle called acute Angle 13.The boundary is the edge of the object
14.The figure is a boundary or surrounded by several boundary
15.Round: by a line of surrounded by the plane figure, it is a little and the line any point joined the line are equal.
16.The point (refers to the definition of the points mentioned in 15) called circle.
17.Circle diameter is any a circular straight after the two direction was round intercepts line, and the round two parts.
18.Semicircle is diameter and was it the circular arc of the cutting that surrounded the graphics, semicircle circle and the same circle.
19.Linear form is surrounded by line.Trilateral form by three straight line is surrounded, quadrilateral by four straight lines is surrounded, polygons by more than four straight line is surrounded.
20.In the shape of 3, 3 sides equal, called an equilateral triangle; Only two edges equal, called an isosceles triangle; The edge of the range, called not an equilateral triangle.
21.In addition, in the shape of the trilateral, have a right Angle is, is called a right triangle; Have a Angle is the nails, the nails called triangle; The edge of the range, called not an equilateral triangle.
22.In the quadrilateral, tote is equal and four Angle is the Angle, is called a square; Angle is a right Angle, but quadrilateral not all equal, called the rectangle; Four equal, but not the right Angle, called diamond; Diagonal is equal and opposite sides equal, but not all equal and edge horn is not the right Angle, called the inclined square; The rest of the quadrilateral called irregular quadrilateral.
23.Parallel lines are in the same plane introverted ends extend unlimited cannot at the intersection of straight line.0
Justice: 1.Equal to about the same amount of equal to each other
2.Add amount equal, its and equal;
3.Reduced amount equal, the poor are equal 4.Each other can overlap object is congruent 5.The whole is greater than the partially.
Axiom: 1.A can only be made two and a straight line;
2.The line (limited linear) can be infinite extension;
3.As a little to the right to, any long for radius, can make a circle; 4.All right Angle are equal;
5.With plane within a straight line and another two straight line intersection, if in line with the side of the sum of the two an internal Angle is le than 180 °, then these two straight lines after the infinite extension in the side must intersect.
Drawing the proof:
1.In a given limited on a straight line equilateral triangle
Set AB is known straight line
With A to the right, to draw circles AB distance With B to the right, to draw circles AB distance Two round) to A C, B to attachment of CA, CB ∵ AC = AB BC = BA
∴ CA = CB = AB
∴ enables delta ABC is an equilateral triangle
2.A known point for a straight line parallel to the known straight line.
Set A is known point, BC is known straight line, after A request to do A straight line parallel to BC Take A little D took office in BC, connection AD in straight DA points on A, do
∴ linear AD and two straight lines BC, EF into each other NaCuoJiao intersection equal EAD, ADC
∴ EAF ∥ BC
3.In line for a known on the square.
Line AB is a known, in the line AB requirements on a square
The line AB to AC from point A are painting of the straight line, it and AB, at right angles Take AD = AB
Lead point D do DE, parallel to the AB, lead point B do BE parallel to the AD, so ADEB is a parallelogram ∴ AB = DE, AD = BE And AD = AB
∴ parallelogram ADEB is equal sides ∵
∴ parallelogram edge and diagonal in equal ∴ ABDE is a square
4: known line by a known to do a straight line and linear known at right angles
Solution: take a little arbitrary in AC D, make CE = CD In DE make one FDE equilateral triangle Connection FC ∵ DC CE CF = CF DF = CF
DF = FE
∴
They are LinJiao, by definition 10, both is right angles
Proposition proof: Proposition 1: if two triangle has both sides were equal to both sides, and the equal line between equal the Angle.So, they are equal to the lower side of the bottom edge, triangle is equal to the triangle, and other Angle is equal to other Angle, namely that the Angle to the sides. Proof: set ABC, DEF is two triangles, AB = DE, AC = DF,
∴ B and E coincidence And AB and DE superposition
∴ AC and DF superposition And AC = DF
∴ C and F coincidence ∴ enables delta ABC and train DEF coincidence, that is congruent
Proposition 2: a straight line and the other a straight line pay into horn, or two right angles, or istheir and equal to two right angles
Proof: set any straight line AB/CD into Angle CBA, ABD If
The
∴
Original proposition find
Proposition 3: vertical anglesequal
Proof: a straight line AB, CD intersect at point E
∵
Proposition 4: two straight line parallel, TongWeiJiao equal
A linear EF and two parallel straight line AB, CD intersect Hypothesis is not equal to
And
∴ two straight line extension will intersect And two straight line parallel ∴
And
Original proposition find
Proposition 5: if two triangle, a two horns were equal to another two horn, and side is equal to the other side, which have a side yes DengJiao home change, or is the DengJiao edge, then their other edge also equal to the other side, and the other to the horn of the horns of the other Proof: if AB indicates DE
Might as well put AB > DE take BG is equal to DE Connection GC ∵ BG = DE BC = EF GB = DE BC = EF
∴
And ∵ enables delta GBC ≌ enables delta DEF ∴ the rest Angle and edge also equal (proposition 1) ∴
It is not poible ∴ AB = DE And BC = EF ∴ AB = DE BC = EF
EF Make BH = EF Link AH ∵ BH = EF AB = DE
An Angle to equal ∴ AH = DF
∴ train ABH ≌ enables delta DEF ∴
Therefore, in the triangle AHC, outside, BHA equal to
Angle are equal (proposition 1)
∴ enables delta ABC ≌ enables delta DEF ∴ AC = DF
Proposition 6: in a parallelogram, edge is equal and diagonal halve its area (note: the geometric was the original text of the definition of no parallelogram
Definition: in the same plane within two groups respectively of the parallel quadrilateral called parallelogram.
(1) if a quadrilateral is a parallelogram, so the two groups of side of quadrilateral are equal. (2) if a quadrilateral is a parallelogram, so the quadrilateral two sets of diagonal equal respectively. )
Proof: ∵ AB ∥ CD ∴
∴
∴ enables delta ABC ≌ enables delta DCB ∴
∴ enables delta ABD ≌ enables delta ACD ∴
∴ parallelogram ABCD, of the diagonal equal to each other ((1), (2) properties have to card)
Similarly, ∵ enables delta ABC ≌ enables delta DCB ∴ diagonal BC divide the area of the parallelogram ACBD
Proposition 7: in the same base and in the same two parallel lines between the parallelogram equal
Proof: set ABCD, EBCF is a parallelogram, they in the same bottom BC.And in the same parallel lines AF, between BC ∵ parallelogram ABCD is ∴ AD = BC
Similarly, EF = BC, AD = EF ∴ AE = DF
And AB = DC FDC =
∴ enables delta EAB ≌ enables delta FDC EB = FC
∴ area enables delta EAB-enables delta DGE = enables delta FDC-enables delta DGE ∴ area ABGD = EGCF With plus GBC accidents
∴ parallelogram ABCD area is equal to EBCF parallelogram
Proposition 8: if any straight line on a bit have two straight line is not this a straight line with side, and a straight line and LinJiao and equals two right angles, then these two straight lines in the same line
Proof: if BD and BC of line BE and CB co-line hypothesis ∵ AB in straight lines above CBE ∴
∴
The
Similarly in addition to no other lines and the BD BC were line ∴ CB and BD altogether line
Proposition 9: in the same base and in the same between two parallel lines equal triangle area
Proof: as shown in figure, ABC set triangle, with the same DBC and two parallel lines AD, between BC
Extend the AD and DA respectively to F, E, and BE as parallel to the CA B, C for CF, parallel to the BD
The EBCA and DBCF are quadrilateral parallelogram, and the area is equal (proposition 5) ∵ enables delta ABC is the area of the idol is must EBCA half
Train DBC is the area of the parallelogram half the DBCF (proposition 6) ∴ enables delta area is equal to train the DBC ABC area
Proposition 10: if a parallelogram and a triangle is collaborating again in two parallel lines between, is the area of a parallelogram is a triangle 2 times Proof: connect AC
∵ enables delta ABC and train EBC and with bottom BC, and in parallel lines BC and AE between ∴ train the area of the ABC is equal to train EBC ∵ AC divide the parallelogram ABCD
∴ parallelogram ABCD is the area of the train EBC twice ∴ parallelogram ABCD is the area of the train EBC twice
The proof of the Pythagorean theorem about: Right side of a right triangle hypotenuse is equal to the sum of the square.
The known: as shown in figure, train ABC is a right triangle.
Confirmed: AB ² + AC ² = BC ².
Proof: respectively by orthogonal edge AB, AC and tapered side plain wheels of BC as a square ABFG, square ACKH, square BCED; (graphic 3)
Over A parallel to the BD or for AL CE, connection AD, FC; ∵
∴ C, A, G (proposition 8) were line Similarly, B, A, H of line ∵
So
So enables delta ABD ≌ enables delta FBC (proposition 1) Parallel lines between AL and BD
The area of the parallelogram BL is 2 times of ABD accidents Similarly, a square GB is the area of the train FBC twice
2 by justice, the area of the parallelogram BL and square equal BD (proposition 10) Similarly, a parallelogram CL is equal to the square HC
∴ square BCED area is equal to the square ABFG and square the size of ACKH (justice 2) ∴ BC ² = AB ² + AC ²
Original proposition find
Reference: kansai the geometric originally
定理证明
勾股定理证明
勾股定理证明方法
定期证明
费马大定理证明过程