数学讲评课的上法
1.讲评课的意义
教学过程是在教师的指导下，学生通过学习，认识客观世界的动态过程。而调控并优化教学过程，主要是通过教师和学生之间的信息信息联系和反馈来实现。数学教学过程中的单元测，阶段测等考试形式，正是这种联系和反馈的重要且可靠的手段之一。试卷的作用是多方面的，它不仅起到评价反馈的作用，而且更是学生查漏补缺、巩固提高的重要途径。试卷讲评课是数学课堂教学的重要组成部分，上好讲评课对巩固基、规范解题、熟练技巧、开阔思路、提高学生解决问题的能力、培养学生的创新意识等有着意义。高中数学讲评课由于缺乏操作程序，而测试、阅卷、讲评的时间短，工作量大，有的老师往往毫无准备匆匆忙忙就上评价课，使得评讲课效率极其低下，教师们普遍都怕开讲评课的公开课，大家有点敝帚自珍的感觉，于是我们越不交流，评讲课就越上不好，越不知道该怎么上传统讲评课主要存在误区?只报答案，不注重讲解过分的迷信训练万能，忽视精讲面面具到，讲的多练的少高一年级数学试卷平面β，有下列四个命题：
①α∥βl⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥m α⊥β；④l⊥m α∥β.
其中正确的两个命题是 （ ）
A、①与② B、①与③ C、②与④ D、③与④
【分析】考查空间平行与垂直关系的判别, 选B
5、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）
A．π B．π C．π D．πS=π·12×3+×4π·12=π 选A
考察考生空间想象能力，球的表面积公式．命题①空间直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c
②非零向量，若∥，∥则∥
③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
④空间直线a、b、c若有a⊥b，b⊥c，则a∥c
⑤直线a、b与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
由传递性知①②正确由线面垂直性质知⑤正确由空间直角坐标中三坐标平面关系否定③三坐标轴关系否定④选C
考察传递性适用范围，空间与平面的区别考察考生空间想象能力，球的表面积公式中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正三棱锥对棱互相垂直，即，又SB∥MN，且， ∴，从而. ∴，以为顶点，将三棱锥补成一个正方体，故球的直径，即，∴，故选C.
（考查线面的位置关系，几何体与球的切接问题，球的表面积公式，关键利用四面体的性质及通过补形求球的半径）
（说明：以下是试卷剩余部分重点题目讲解，作者限于篇幅删除）
三．补救练习
教材复习参考题中的部分题目
案例4.以下是一节数学试卷提起试卷讲评课，刚开始我的做法是：我就题讲题，逐个讲解试题的正确答案，在黑板上板演相关题目的解题过程和思路，学生在下面盲目的听，部分自觉的同学及时订正一下，但做错多的同学能抄则抄，只是应付老师的检查。而且大部分同学认为下次这些题目再考的可能性较小，因而一节讲评课下来我如负释重，该讲的我讲了，该问的我问了，可是随着时间的推移,我曾有意识的把这些错误现象比较普遍的题目拿出来让学生再次练习,出错率仍然和上次测试结果相差无几,实事上,我了解过一些老师和家长,也都反应出同样的现象。后来我通过认真分析，原因有两点：一是试卷讲评时,学生是被动的参与学习,虽然教师讲得头头是道,学生听得明明白白,然而缺少“做数学”的经历，对解题的方法还没有真正弄懂，没有真正变为自己的知识。二是根据知识遗忘曲线的规律，没有及时的练习和巩固，也不能真正掌握知识。如何处理好学习与检测的矛盾，做到知识与能力并进。于是，我尝试对试卷讲评课进行一次改变。
在第四单元测试后，我没有像以前那样念分数、发试卷、教师讲评等过程。上课一开始先是比较简练的介绍了本次测试的概况，包括各个等次的人数、平均分、及格人数、优秀人数等情况，然后告诉同学们说：“这节课由你们自己上，自己分析原因，自己改错，自己讲解，同学们愿意吗？”全班同学异口同声说：“愿意”。接着我提出了如下要求：1、现在请同学们先找出错误原因，然后自已订正，独立解答。（因学生在考完试后，相互交流、相互沟通，对自己出错的一些题目已经知道了出错原因，并能够自己进行改正。）2、自己还不能订正的题目，主动向老师或小组其他同学请教。小组长或同桌应主动帮助小组的成员，重点是讲解方法和思路，做到弄懂后再改正，达到“生教生”的目的。3、每个同学将改好的试卷交给小“老师”，在指定的小“老师”手中过关，由小“老师”抽查题目，被查者必须先说出思路，再写出算法。如果说不上来时，应重新请教老师或组长，直到弄懂为止。4、每个同学针对这次测试写一份简单的卷面分析，找出错误原因和自己学习中的不足之处、写出自我订正后的收获与提高。5、对部分共性出错多的题目，可再出一部分同类的题目进行平行性检测，达到进一步巩固的目的。
同学们开始行动了，有的忙着自己改错，有的忙着请教同桌，有的主动给同桌或组员讲解。我也参与到他们中间，想听一听他们是如何做的，是否能达到我提出的几个要求。? 通过以上几个阶段，每个同学目的明确，在老师的要求下，在同学们的小组合作下，变被动接受为主动获取，针对性强，原来需要二节课的评讲内容，现在一节课就可以完成，并且效果明显好于以前。
?新课标下“三维”目标.所以,试卷讲评课的教学目标也应是“三维”的.试卷讲评课应关注学生的知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观。因为试卷讲评课的主体是学生，所以教师应根据学生的需要设计试卷讲评课的内容、方法、进程。试卷讲评课本身也是一种数学活动，没有学生的参加，就不可能有学生的发展。所以，教师应给学生自主的评价自我、矫正自我、完善自我的时间和空间。
4.讲评课的原则
数学试卷的讲评，应重视试题的针对性、层次性，注意评讲的创新，鼓励学生积极参与，避免就题论题，讲评中还要兼顾学生的心理感受，及时激励，让学生在每一次考试后都有成功感，都能获得良好的心理体验，从而不断获得提高。
突出针对性
教师要准确分析学生在知识思维方面的薄弱环节，找出试卷中出现的具有共性的典型问题，针对导致错误的根本原因及解决问题的方法进行讲，另外对内涵丰富、有一定背景的试题，即使这个题目解答无多大错误，也应以它为例，对它丰富的内涵和背景进行针对性讲评，以发挥试题的更大作用，拓展学生的知识视野，发展学生的思维能力。
强调层次性
讲评是全体师生的双边动，但不同学生存在的问题不尽相同，因而要调动各层次学生都积极参与讲评活动，使每一位学生都能在自己的发展区域里，有不同的收获。这就要求教师从整体上把握讲评内容的层次性，使内容层次与学生层次相吻合。注意新颖性
讲评课涉及的内容都是学生已学过的知识，但评讲内容不应是原有形式的简单重复，必须有所变化和创新。在设计讲评方案时，对于同一知识点应多层次、多方位加以解剖分析，同时注意对所学过的知识进行归纳总结、提炼升华，崭新的面貌展示给学生，在掌握常规思路和解法的基础上，启发新思路，探索巧解、速解和一题多解，学生感到内容新颖，学有所思，思有所得。通过讲评，训练学生由正向思维向逆向思维、发散思维过渡，提高分析、综合和灵活运用能力。讲究激励性?
考试以后，学生的情感，经常表现出强烈的两极性，引出一些意想不到的结果。在试卷讲评时，不可忽视各类学生的心理状态，要用好激励手段。对各种优点的表扬要因人而异，让受表扬者既有动力又有压力，对存在的问题提出善意的同时，应包含殷切的期望，使学生都能面对现实，找到自己努力的目标，振作精神，积极地投入到下一阶段中去。对成绩好、进步快的学生提出表扬，再接再厉，再创佳绩。讲评过程中，对学生的答卷优点，大加推崇如卷面整洁、解题规范；思路清晰、思维敏捷；解法有独到之外、有创性等讲解时可将试卷中出现的好的解题思路、方法用投影展示于课堂，也可由学生讲解。讲评后可将特别优秀的答卷，加上点评张贴在“学习园地”，供全班同学效仿、借鉴。对成绩暂时落后的学生要能和他们一起寻找原因，鼓励其克服困难，奋起直追。要善于挖掘他们答卷中的闪光点，肯定其进步。要让他们也能在赞扬声中获得满足和愉悦，对他们的错误解法要指出其合理成份，并和他们一起研究怎样做就可以修正为正确答案，增强其信心，激发其兴趣，消除其压抑感，增强其成功感。
总之，讲评课要以赞扬、肯定为主基调，引导鼓励学生以个人的发展为参照，自己和自己比较，关注自己的努力和进步情况。切忌出现挖苦、训斥、侮辱学生，应让学生达到“胜不骄、败不馁”的境界。抓住讲评的最佳时期
有些教师为了反馈及时，往往是批阅完试卷后发下就立即讲评，认为学生刚做完还没忘，效果要好一些，其实不然，因为你这时去讲，往往是讲学生做错的一些题目，而事实上学生做错的题目并不一定不会，很可能学生看后很快就能自己解决，有的甚至在刚交上试卷后就明白怎么回事了。像这样学生通过自己的思考、领悟就能弄明白。因此，教师应在发下试卷后留给学生一定的时间，让他们自己去思考、去更正，。?试卷讲评的关健是备课
讲课（题）必须讲在重点、难点、疑点和关键上，要具有导向性，要能激发学生的求知欲。凡是讲评课学生收获不大的，往往是教师不分轻重，面面俱到其实试卷上大多数题目学生可自行解决，如讲评时再胡子眉毛一把抓，学生自然会厌烦，觉得浪费时间。当然，“突出重点”并非只讲重点，只是一节课（题）所涉及的内容很多，教师应根据试卷批改的情况，精心备课，将课上的主要精力、时间集中到存在问题最突出、最主要和最想知道的内容上来，为学生解惑、释疑，引导学生探究根据学生测试情况，讲解问题要具有普遍性和典型性讲解要具有针对性和效性，找出学生答题出现失误的“关节”点，透彻分析、解疑纠错，防止类似错误的再次发生。这就要求教师备课前多了解学生对做错的题是怎样思考的，多问几个“为什么学生会在这道题（这类问题）上出错？”找出学生在理解概念、规律上存在的问题，在思维方式、方法上存在的缺陷，这样讲评才会击中要害。另外，对学生非智力因方面的问题要找得准，敲得狠，注意集体引导和个别辅导相结合，使学生形成严谨的学风。
试卷讲评要重视技巧
充分发挥学生的主体作用
试卷讲评课切忌教师一言堂，教师的作用在于组织、引导、点拨促进学生主动思考、积极探究、大胆假设猜测、提出问题，培养学生的创新意识和敢想、敢说敢做、敢于标新立异的思想意识，使学生真正成为讲评课的主人让学生在动脑、动手活动中获取知识、发展智力、培养能力。
（2）注意分析归类，注重减负效
教师在讲评课时不能只按照题号顺序讲评，而是要善于引导学生对试卷上涉及到的问题情景，进行分析归类，让学生对试卷上的同一类问题有一个整体感。这样有利于学生总结提高,形成自己的知识体系。具体可按三种方式归类按知识点归类：就是把试卷上同一知识点的题，归在一起进行分析、讲评，这种归类可让学生在教师指导下进行，教师可选择重点知识的典型题目进行分析讲评．
按解题方法归类：即把试卷中涉及同一解题方法、技巧的题目，归到一起进行分析如把一份综合测试卷分为：a．一题多解类；b．多题一解类；c．用方程思想解题；d．用函数思想解题等类型．
按答卷中出现的错误类型进行归类，一般可分为：a对理解不透甚至错误；b．读题时对题中的关键字、词、句的理解有误；.思维定势的负迁移；d．数学模型建立当；e.运算错误等类型．
以上三种归类方法不是彼此孤立的，是相互交叉渗透的。通过归类思想的练习，学生就会逐渐养成思考的习惯，避免“题海战术”，从而达到减负效的目的。
（3）重视启发学生
讲评课教师应重在解题思路的分析和点拨，可以引导学生阅读题中的关键字、词、句，挖掘题中的隐含条件；或引导学生回忆题目设计的相关数学知识，挖掘数学概念、数学规律的内涵和外延；或探寻题中的已知因素和未知因素之间的内在联系，再现正确的数学模型，让学生对要解决的问题建立清晰的数学情景．切忌满堂灌输式的面面俱到、蜻蜓点水式的简单，要针对重点知识、重要方法，对具有典型错误的代表题，要精心设疑，耐心点拨启发，并留给学生必要的思维空间，让学生悟深、悟透．
（4）试题的变式或延伸
讲评课上，教师不要就题论题、孤立地逐题讲解，要透过题中的表面现象，善于抓住问题的本质特征进行开放、发散式讲解．一般可从3个方面进行发散引导：“一题多解”、“一题多联”、“一题多变”．进行“一题多变”，可将原题中的已知条件、结论等进行改动，然后再重新分析、求解．此训练宜由浅入深、步步推进，使不同层次的学生均有所收获．=1，求点M(0, 1)在直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足=(+)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
本题错解：设p(x，y)是所求轨迹上任一点，直线l方程为y=kx+1，A(xl，y1)，B(x2, y2)，由，得：(4+k2)x2+2kx－3=0，所以
x1+x2=，y1+y2=. 由=(+)得
，消去k，得4x2+y2－y=0，即为所求.
错解分析：一是部分同学变量设的不合适，求轨迹问题，应当首先考虑设出所求轨迹上动点的坐标：二是对直线方程形式的选择不明确，本题显然适合选择点斜式：三是只要涉及到直线的斜率问题，就要考虑斜率是否存在的情况，即进行分类讨论，这是解析几何最基本的常识．
得失分情况：大部分同学对此题思路比较清晰，基本上能得到10分，由于考虑不周而失去2分．
预防措施：有关直线问题只要涉及到斜率，要培养对斜率进行讨论的意识．
正确解法：在上述解法中添加：当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程，所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y=0.
【分析与评价】对典型错误要重点分析出错原因，找到症结所在。教师通过阅卷，可以有意识地用提问的方式，将典型错误的思维过程暴露出来，大家共同探索纠正的方法．提问的面尽量要广，这样调查的结果更具有代表性．
这一环节，还要引导学生进行成绩分析。成绩分析分两步走，一是得分分析，指导学生分析当时是怎样想的、切入口是怎样找到的、计算是怎样进行的、过程是如何表述的等等，也就是要反思过程．通过反思摸索出解题的规律，掌握解题方法．二是失分分析，对失分的分析不能笼统，要进行拆分，要具体。拆分就是把失分分成两类，一类是不会做、找不到切入口的题目，一共失掉了多少分．另一类更为重要，就是会做却做错了的题目，要分析出又做错了的原因，这一点更为重要．因此，拆分一定要细、要科学、要准确、拆出目标、拆出信心．这一环节，要求必须以学生为主体，学生应参与到教学的每一个环节中来：学生要参与分析错误原因，因为教师仅仅从试卷上看出或猜出的错误原因往往是不可靠的；学生要参与探索正确的解题思路的过程，学生更要参与解题方法的概括和提炼．
(2)通性通法
如第(20)题：已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1－pCn)为等比数列，求常数p．
解题分析：本题有两个切入点，一是对于常数p，可由一般项间的关系求得；二是由前几项间的关系来归纳求得，在进行验证或证明．
解法一(通法)：因为{Cn+1－pCn}是等比数列，故有
(Cn+1－pCn)2=(Cn+2－pCn+1)(Cn－pCn－1)，将Cn=2n+3n代入上式，得
Cn=2n+3n [2n+1+3n+1－p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2－p(2n+1+3n+1)][2n+3n－p(2n－1+3n－1)]
[(2－p)2n+(3－p)3n]2=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1]·[(2－p)2n－1+(3－p)3n－1]
整理得(2－p)(3－p)2n·3n=0
解得p=2或p=3.
解法二(特殊值)：因为｛Cn+1－pCn}是等比数列，故有
(C3－pC2)2=(C4－pC3)(C2－pC1)
又C2－pC1=13－5p，C3－pC2=35－13p，C4－pC3=97－35p
所以(35－13p)2=(13－5p)(97－35p)，即p2－5p+6=0
解得p=2或p=3．
【分析与评价】所谓的通性通法就是找出事物的共同性质，用普遍适用的带有一定规律性方法去解决，不过多地强调技巧性．通性通法也是在历年高考中重点考查的方法．
通过典型题目的剖析与讲解，达到总结、提炼通性通法的目的，以此提高学生对学科知识的整体把握．对典型题目的讲解要做到：一是讲解法的发现过程，如何读题、如何寻找解题的切入点、解法探索；二是讲如何规范表述解题过程；三是通过一题多解、一题多变、多题一解等手段，深入挖掘典型试题的潜在功能．积极引导学生参与到讲评过程中，尽量多地让学生发言，以暴露其思维过程，以对其他学生起到警戒、示范作用．具体的方法有：错误让学生“改”、思路和解法让学“讲”、解题过程让学生板演、学生之间相互批卷和讨论．
(3)一题多解，解法优化
21、已知F1，F2为椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求椭圆的离心率取值范围
解：投影展示并由学生进行完善归纳
方法—：
设|PF1|=y1，|PF2|=y2，则y1+y2=2a, ，解得
y1y2==2(a2－c2)
y1,y2为方程x2－2ax+2(a2－c2)=0两根，则△≥0求得e≥
方法二：
由焦半径公式：设p(x0, y0)，y1=a+ex0, y2=a－ex0，+=4C2得：
2a2+2e2=4c2，=∈[0,a2]，∴e≥
方法三：
由4a2=(y1+y2)2，e2=由基本不等式得：e2≥
即e≥
学生判断正误，并讨论修正，教师适当点拨如下：
y1>0，y2>0，+与y1+y2之间的不等关系得解法如下：≥
所以，e2==≥=，即e≥.
方法四：
因为P点在短轴端点时，∠F1PF2最大，由题意知：θ≥45°，即sinθ=≥
学生讨论、比较解法优势及步骤有无欠缺?
结论：方法四量简单，P点在短轴端点上时，∠F1PF2最大，但需要证明．
【分析与评价】对试卷中的新题型和一题多解要介绍给学生，使学生的解题思路更广阔．对试卷中出现的新思路、新解法、同一题目的不同解法及不同解法的优劣选择，不论是否合理和正确，教师都要给以恰当的评价，使学生能理解和尝试学习新思路．
(4)变式训练
①若直线+=1通过点M(cosα,sinα)，则（ ）
A. a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C. +≤1 D. +≥1
②圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（ ）
A. k∈(－,) B.k∈(－∞,－)∪(,+∞)
C.k∈(－,) D.k∈(－∞,－)∪(,+∞)
③设a>1，则双曲线－=1的离心率e的取值范围是（
）
A. (,2) B.( ,) C.(2, 5) D.(2, )
④等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y－2=0与x－7y－4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为
A. 3 B. 2 C.－ D. －
【分析与评价】针对学生出现的典型错误、出错率较高的题目进行同类或变式问题的再训练，主要是为了让学生掌握解决这些问题的通法．
4、反思总结，完成满分卷
课后要求学生通过本节课的学习，通过与同学的交流讨论，通过听老师的讲解与分析，反思、总结自己试卷中出现的问题及症结，在此基础上对试卷进行二次重做，完成满分卷．
【分析与评价】 没有反思，复习过程不会得到消化、复习效果不会得到巩固．总结的过程，就是学生认识水平和能力提高的过程．教师要善于引导学生反思、回顾和总结，概括本节课要点，归纳解题方法，并强调注意问题．反思总结之后，要引导学生完成满分卷并进行二次批阅，重点学生要面批．
5、巩固性练习
1．直线l过双曲线－=1的右焦点，斜率为2的直线与双曲线两个交点分别在左右两支上，则双曲线离心率的取值范围为
A. e> B. 1<e< C.1<e< D.e>
2. 不论θ取何值，方程x2+2y2sinθ=1所表示的曲线必不是
A. 抛物线 B.双曲线 C.圆 D.直线
3. 在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点(,0)作圆的两櫹线互相垂直，则率心率e= .
4. 如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.
【分析与评价】 讲评课的结束，并不是试卷评讲的终结，教师应利用学生的思维惯性，扩大“战果”，有针对性布置一定量的作业，进行巩固性练习．练习题的来源：对某些试题进行多角度的改造，使旧题变题，这样做有利于学生对知识和方法掌握的巩固，提高，有利于反馈教学信息．
参考文献：
?张吉对高中数学试卷讲评成双燕一节数学试卷讲评课的启示
高一年数学试卷
1
变
式
训
练
一 解
题 法
多 优
解 化
通
性
通
法
典 剖
型 析
错 矫
误 正
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