《导数》变式题
一 导数的概念与运算
1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54. 答案：C
变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
文（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
理（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
解： （1） ∵. 由≤1，得≤1
∴
令，显然在上单调递减，
则当t→+∞时，→1. ∴
令，显然在上单调递减，
则当时， ∴
∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.
（2）∵. 由≤1，得≤1
∴
令，则.
当时，有，
∴在[0，+∞上单调递减.
故当t=0 时，有；
又，当t→+∞时，→0，
∴ ，从而有≤0，且. ∴0≤a≤1； 故所求a的取值范围为0≤a≤1.
2.已知的值是（ ）
A. B. 2 C. D. －2
解：
得选A
变式1：（ ）
A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1
解：
.
选B.
变式2： （ ）
A． B． C． D．
3．人教版选修1－1第84页例2，选修2－2第8页例2：
根据所给的函数图像比较
变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. y
B.
C.
D. O 1 2 3 4 x
解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT
点B处的切线为BQ， T
y B
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
4．人教版选修1－1第93页习题A组第4题，选修2－2第18页习题A组第4题，
求所给函数的导数：
。
变式：
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是A．(－3,0)(－3,0)
5．人教版选修1－1第93页A组第6题、选修2-2第18页A组第6题
已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.
变式1：已知函数.(1)求这个函数在点处的切线的方程；
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.
解：（1）依题意得：切点为，
由点斜式得切线方程，
即.
（2） 设切点为
由点斜式得，
切线过原点，
切点为由点斜式，得：即：
变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B. C. D. 1
解：设切点为①
② 由①、②得,选B
说明：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2．求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点.
6．人教版选修1－1第99页例2选修2－2第25页例2
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
变式1：函数的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
解：，选A
或
变式2：（1） 已知函数(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的值是 . (2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 .
解： (1)若函数的单调递减区间是（-3，1），(2) 若函数在上是单调增函数
解：（1），因为函数的单调递减区间是（-3，1），
所以-3,1是方程的两个实数根,由韦达定理，（草图略）
（2）若函数在上是单调增函数，
如图示，分类讨论：
当即即 条件成立；
当，即 条件成立；
综上，条件成立，为所求.
变式3： 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得 因此故，，
（II）解法一.
当时，函数单调递减.
由，若；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）
上的抛物线，
所以 即解得
所以的取值范围为
7．人教版选修1－1第103页例4 ，选修2－2第29页例4
求函数的极值.
人教版选修1－1第106页例5 ，选修2－2第32页例5
求函数在上的最大值与最小值..
变式1： 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的个数。选A
变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
解：
（Ⅰ）由图得
X (0,1) 1 (1,2) 2 0 0 极大值 极小值 则=1;
（Ⅱ）依题意得即
.
变式3：
若函数，当时，函数有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．
解：
由题意： 所求解析式为
（2）由（1）可得： 令，得或
当变化时，、的变化情况如下表：
— 单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗ 因此，当时，有极大值
当时，有极小值
函数的图象大致如图：……13分 y=k
由图可知：
变式4：已知函数，对x(〔－1，2〕，不等式f（x）(c2恒成立，求c的取值范围。
解：
f(（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
X （－(，－） － （－，1） 1 （1，＋(） f(（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ( 极大值 ( 极小值 ( f（x）＝x3－x2－2x＋c，x(〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，
而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）(c2（x(〔－1，2〕）恒成立，只需c2(f（2）＝2＋c
解得c(－1或c(2
三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题
8.人教版选修1－1第108页B 组习题，选修2－2第34页B组习题
利用函数的单调性，证明：
变式1：证明：，
证明：（1）构造函数，
，当，得下表
+ 0 — 单调递增 极大值 单调递减 总有
另解，当，
当，单调递增，……①
当，单调递减， ………………②
当 …………………………………………………………③
综合①②③得：当时，
（2）构造函数，
当，当单调递减；
当单调递增；极小值=，
总有即：.
综上（1）（2）不等式成立.
变式：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
解：
方程f(x)=x2+x+a, 即x－a+1－ln(1+x)2=0，记g（x）=x－a+1－ln(1+x)2.
所以.由>0,得x<－1或x>1,由<0
得－1<x<1.
所以g(x)在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，为使f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在上各有一个实根，于是有
9. 函数若恒成立,求实数的取值范围
解：由，得单调递增；
又，
所以是奇函数.，
在上单调递增， 恒成立，即：恒成立，分类：①当恒成立，适合；
②当恒成立解得：
综上，
说明:（1）通过研究函数的性质（单调性与奇偶性），利用函数的性质解决不等式问题，是函数思想的重要应用.（2）找寻使恒成立的条件实际上依然用的是函数图像（数形结合）的函数思想.
变式:设函数若恒成立，求实数的取值范围.
解：由，得单调递增；
又，
所以是奇函数.，
恒成立，即恒成立.
①当成立；②当
10.如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q
(1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求的面积的最大值
解：（1），所以过点M的切线的斜率为
由点斜式得切线PQ方程为，
即……①
(2)…………②
对①令x=6得…………③
令y=0得…………④
③④代入②得
，令 解得
T (0,4) 4 (4,6) S’ + 0 - S 增 极大值64 减 所以当t=4时有极大值64,
所以当t=4时,的面积的最大值为64.
11.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？
解：设容器的高为x，容器的体积为V.
则(0 < x < 24)
＝x
∵x
由
∴
所以 当
又
所以 0
答：该容器的高为10cm时，容器有最大容积19600
12.某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
分析：先建立总利润的目标函数，总利润=总销售量-总成本C(x)= 产品件数*产品单价-C(x),因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.
解：设产品的单价P元，据已知，，
设利润为y万元，则
，
递增；递减，
极大=最大.
答：当产量为25万件时，总利润最大
四、理科定积分、微积分
选修2-2第59页例1、例2
计算下列定积分：
变式1：计算：；
（1）；（2）
解：.（1）
(2)利用导数的几何意义：与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为（图略）
变式2： 求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.
分析：利用定积分的定义解题，应当画出草图.
解：先求出抛物线和直线交点坐标（1，1），（1，-1）
利用定积分的定义易得：
变式3：在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.
共13页 第13页