实用文案
九年级上册·课本亮题拾贝
课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养．
21．1 二次根式
题目 计算：．（人教课本P8 2（4）题）
解 原式=．
点评 大家知道，当a≥0时，有意义，且．而当a＜0时，也有意义，此时，进一步的，则等于－a（－a＞0）．为了预防解题粗心出错（如），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．
演变
变式1 填空：（1）= ；（2）= ．（答案：（1） （2））
变式2 当x 时，式子在实数范围内有意义？ （答案：＞）
变式3 若是整数，求正整数n的值（至少写出3个）．
（答案：n = 1，2，9，17等．）
变式4 是否存在正整数n，使得是有理数？若存在，求出一个n的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在正整数n，使是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．
假设3n + 2等于k（k≥3，k是正整数）的平方，则k = 3p或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k除以3余0或者1或者2，而（3p）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n，使是有理数．
21．2 二次根式的乘除
题目 计算：．（人教课本P15 6（4）题）
解 原式== 15．
另法 原式=．
点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（（a、b≥0），（a≥0，b＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．
演变
变式1 填空：（1）= ；
（2）= ． （答案：（1） （2））
因为原式=，2 + 3 = 5，
所以设2 = a，3 = b，则 5 = a + b，题目可演变成如下形式：
变式2 化简：．
解 原式== b（a + b）= ab + b2．
若赋予a一些不同的值（相应的可得到b的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题．
变式3 甲、乙两同学在化简 时，采用了不同的方法：
甲： 因为x，y是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x＞0，y＞0，
于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=．
乙： 原式=．
从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．
解 甲，乙两同学的做法都不正确．
甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是．
乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常是一个整体，是被除式．
正确解法是：原式=．
21．3 二次根式的加减
题目 已知，，求下列各式的值：
（1）x2 + 2xy + y2； （2）x2－y2． （人教课本P21 6题）
解 ∵ ，，
∴ ，x－y = 2，xy = 2．
于是 x2 + 2xy + y2 =（x + y）2 =，
x2－y2 =（x + y）（x－y）=．
点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．
演变
变式1 已知，，求：（1），（2）的值．
解 由已知可得a + b = 2，，ab =－1．
（1）原式=．
（2）原式=．
变式2 如果实数a，b满足a2 + 2ab + b2 = 12，，求的值．
解 显然b≠0，于是由已知，得，
∴ ，即 ，
有，因此．
说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a、b的值．
∵ ，∴（x－1）2 = 3，得x2－2x = 2，结合x≠0，两边除以x，
得，注意到，则=，，得
变式3 若实数x满足，试求：（1）；（2）；（3）的值．
（答案 （1）8 （2） （3））
22.2 降次 —— 解一元二次方程
题目 无论p取何值时，方程（x－3）（x－2）－p2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．（人教课本P4612题）
解 原方程可化为x2－5x + 6－p2 = 0．
方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p2）= 1 + 4p2，
对任何实数值p，有1 + 4p2＞0，
∴ 方程有两个实数根 x1 =，x2 =，且两个根不相等．
另法 由 p2 =（x－3）（x－2）= x2－5x + 6 =，
得 ，无论p取何值≥，因此．
点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．
（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．
（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．
（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x1 + x2 = x1x2 =，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．
演变
变式1 分别对p赋值0，2，等，可得如下确定的方程：
解方程：（1）x2－5x + 6 = 0；（2）x2－5x + 1 = 0；（3）4x2－20x + 21 = 0．
变式2 当x取什么范围内的值时，由方程（x－3）（x－2）－p2 = 0确定的实数p存在？请说明理由．
解 对任意实数p，有p2≥0，所以只需p2 =（x－3）（x－2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x应满足 或 解得x≥3或x≤2．
表明，当x取x≤2或x≥3范围内的实数时，由方程（x－3）（x－2）－p2 = 0确定的实数p存在．
变式3 指出方程（x－3）（x－2）－p2 = 0的实数根所在的范围？
解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x1 =，x2 =，
且对任意实数p，有1 + 4p2≥1，∴ 有x1≥，x2≤，
即方程的实数根所在的范围是x≤2或x≥3．
变式4 试求y =（x－3）（x－2）的最小值．
解 由 y =（x－3）（x－2）= x2－5x + 6 =，
得 y的最小值为，当时取得．
22.3 实际问题与一元二次方程
题目 如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中
有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条
所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确
到0.1 cm）？（人教课本P5310题）
分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm，宽20 cm．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm，则竖彩条的宽就为2x cm，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．
解 根据题意，设横向彩条的宽为3x，则竖向彩条的宽为2x，于是，
2x 2x
2x 2x
3x
3x
30
20
化简，得 12x2－130x + 75 = 0．
解得 ．
因此横向彩条宽1.8 cm，竖向彩条宽1.2 cm．
另法 如图，建立方程，得 ．
法三 如图，建立方程，得 ．
点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：
（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；
（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；
（3）解：解所列方程；
（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；
（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．
演变
变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：）
变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？
解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x，则宽为2x，所以 ，得 ，从而上、下边宽为
，左、右宽为 ．
xx变式3 如图，一边长为30 cm，宽20 cm的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V关于截去的小正方形的边长x的函数关系式，并指出x
x
x
解 根据题意可得，V关于x的函数关系式为：
xV =（30－2x）（20－2x）x．
x
即 V = 4x3－100x2 + 600x，
x的取值范围是0＜x＜10．
变式4 在一块长30 m、宽20 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．
小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m或22.5 m．
小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同．
解答下列问题：
（1）小明的结果对吗？为什么？
（2）请你帮小亮求出图乙中的x ？
（3）你还有其他设计方案吗？
20
20 m
30 m
x
20 m
30 m
20 m
30 m
甲 乙
解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x米．
则根据题意，列出方程，得 ，即 x2－25x + 75 = 0，解得x =或x =．由于矩形荒地的宽是20 m，故舍去x =，得花园四周小路宽为m，所以小明的结果不对．
（2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x米，列方程得 ，所以m．（3）略．
23.1 图形的旋转
题目 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P679题）
BCDAE解 ∵
B
C
D
A
E
∴ AB = AD，∠BAD = 60?．
同理AE = AC，∠EAC = 60?．
∴ 以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60? 就得到△CAD，
∴ △ABE≌△ADC，从而 BE = DC．
另法 ∵ △ABD，△AEC都是等边三角形，
∴ AB = AD，AE = AC，∠BAD =∠EAC = 60?，
于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB．
从而有 △CAD≌△EAB，
∴ DC = BE．
点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．
CB
C
B
A
E
D
变式1 如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，
△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？
说明理由．（人教课本P805题）
ACBED说明：如上题图，去掉BC，把D，
A
C
B
E
D
CA
C
A
B
E
D
（1）△ABC与△CDE在BC的异侧．
（2）点C在BD的延长线上．
（3）C点在BD外．
（4）△ACD与△BDE在BD的异侧，
且D点在BC的延长线上．
BCDAFEGACBEDCBAED（5）△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC
B
C
D
A
F
E
G
A
C
B
E
D
C
B
A
E
D
C
C
B
A
E
D
BCAED变式2 如图，四边形ABCD
B
C
A
E
D
与CE有什么关系？说明理由．
变式3 如图，△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，则
BE与DC有什么关系？
DE
D
E
B
C
A
O
题目 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
（人教课本P93例2）
解 ∵ AB是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90?．
在Rt△ABC中，BC2 = AB2－AC2 = 102－62 = 82，即 BC = 8．
∵ CD平分∠ACB， ∴ eq \o(AD,\s\up5(⌒))=eq \o(BD,\s\up5(⌒))，于是AD = BD．
又在Rt△ABD中，AD2 + BD2 = AB2，
∴ ．
点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 ? 弧相等 ? 弦相等 ? 弦心距相等 ? 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．
其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）．
演变
变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD的面积等于多少？
解 由例题及解答可知，△ACB，△ADB都是直角三角形，于是四边形ACBD的面积等于cm2．
变式2 求内角平分线CE的长？
抽取出图形中的基本图Rt△ABC，因为AC:BC:AB = 3:4:5，于是，
DEBCA斜边上的高
D
E
B
C
A
设∠ACB的平分线为CE，过E向两直角边作垂线，则其长相等，
设为x，于是，由 ，得
ACDBE， ∴
A
C
D
B
E
变式3 如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与
三角形的外接圆交于点D，求证：BD = CD．
解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角
都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB，而∠DAC =∠DBC
（同eq \o(CD,\s\up5(⌒))所对的圆周角相等），结合题设AD是∠EAC的平分线，
则有∠DCB =∠DBC，所以 BD = CD．
变式4 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P93练习第1题）
解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．
ODB
O
D
B
C
A
E
O
P
C
A
B
5
4
3
2
1
7
8
A
C
D
B
6
变式5 如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠CPB = 60?，判断△ABC的形状并证明你的结论．（课本P95第11题）
解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60?，∴ ∠ABC =∠APC = 60?，因而△ABC是等边三角形．
变式6 （托勒密定理）AC · BD = AB · CD + AD · BC（见上图）．
24.2 与圆有关的位置关系
题目 如图，△ABC中，∠ABC = 50?，∠ACB = 75?，点O是内心，求∠BOC的度数．（人教课本P1061题）
解 ∵ O是△ABC内切圆的圆心（内心），
BCOA∴ OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线．
B
C
O
A
∵ ∠ABC = 50?，∠ACB = 75?，
∴ ∠OBC = 25?，∠OCB = 37.5?，
因此 ∠BOC = 180?－25?－37.5? = 117.5?．
点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．
演变
变式1 已知周长为l的△ABC的内切圆半径等于r，求△ABC的面积．
解 设内心为O，连接OA，OB，OC，则OA、OB、OC把△ABC分割成三个易求的小三角形，其面积的和为：
=．
BCOA变式2 如图，点O是△ABC
B
C
O
A
解 ∵
=，
∴ ．
DBCOA说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO并延长，或延长BO交
D
B
C
O
A
变式3 如图，△ABC中，∠B＜∠C，O在∠A的平分线上，
求证：AB + OC＞AC + OB．
证明 ∵ ∠B＜∠C，∴ AB＞AC，于是在AB上取点D，
使AD = AC，连结OD，则由已知和作图，可得
△AOC≌△AOD，进而OC = OD．
在△OBD中，有 BD + OD＞OB，
DBCOAE∴（AB + OC）－（AC + OB）=（AB－AD）+ OD－OB = BD
D
B
C
O
A
E
故 AB + OC＞AC + OB．
变式4 如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，
过O的直线DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E，
求证：DE = BD + CE．
解 由已知DE∥BC，BD、CO分别平分∠B、∠C，可以发
现△BDO和△CEO是等腰三角形，于是有BD = DO，CE = OE，
因此BD + CE = DO + OE = DE．
变式5 如图，B、C在射线AD、AE上，BO、CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线．
ABDOEC4321
A
B
D
O
E
C
4
3
2
1
（2）若∠A = 90?，120? 时，∠O分别是多少度？
（3）求∠A 与∠O的关系式．
解 ∵ BO、CO是∠DBC和∠ECB的平分线，
∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，
∴ ∠ABC = 180?－2∠2，∠ACB = 180?－2∠3．
在△ABC中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180?，
∴ ∠A + 180?－2∠2 + 180?－2∠3 = 180?，
即∠2 +∠3 = 90? + ∠A．
在△BOC中，∠2 +∠3 +∠O = 180?， ∴ ∠O = 90?－∠A．
（1）当∠A = 60? 时，∠O = 90?－× 60? = 60?．
（2）当∠A = 90? 时，∠O = 90?－× 90? = 45?．当∠A = 120? 时，∠O = 90?－× 120? = 30?．
CBADE（3）∠A 与∠O的关系式为∠O +∠A = 90
C
B
A
D
E
24.3 正多边形与圆
题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，
得到如图所示的五角星．（人教课本P1172题）
解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A，B，
C，D，E，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE，再作
出正五边形的对角线AC，AD，BD，BE，CE，即得如图所示的五角星．
点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．
CBA
C
B
A
D
E
M
N
变式1 求五角星中五个角的和．
解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D，∠ANM =∠C +∠E，
∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180?．
表明正五角星中五个角的和为180?．
另法 连结CD，则在△AEF和△CDF中，
FCBADE有 ∠B +∠E = 180?－∠BFE = 180?－∠CFD =∠
F
C
B
A
D
E
在△ACD中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180?，
即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180?．
∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180?．
说明 正五角星中每个角都是36?．
变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数，
CBADE可以证明（参见人教版课本46页“阅读与思考 ——
C
B
A
D
E
变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，
则其五个角的和等于多少？
解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解，
五个角的和等于180?，或连结两个顶点后利用三角形内角和
定理即可解决．
变式4 六角星，七角星，甚至n角星的各个顶角之和等于多少？
解 都等于180?．
说明 解答星型n边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180?及其推论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．
24．4 弧长和扇形面积
CABO题目 如图，从一个直径是1 m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90? 的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？（人教课本
C
A
B
O
解 连结BC，因为扇形的圆心角为90?，所以BC过圆心O
（即BC是直径），于是在等腰直角三角形ABC中，
，扇形的面积为，
扇形的弧长为 ，因此被剪掉的部分的面积为（m2）．
将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径r满足 ，得（m）．
点评 求解图形（阴影部分）的面积时，通常是利用等积变换，分割、重叠等，把求图形（阴影部分）的面积转化为求圆，扇形，弓形，三角形或多边形等基本图形的面积．
CD
C
D
A
B
O
E
lrh变式1 求所围成的圆锥的高h和体积
l
r
h
解 ，
．
变式2 如图，AC，BD是⊙O中两条互相垂直的直径，以A为圆心AB为半径画弧eq \o(BD,\s\up5(⌒))，求证：月牙形阴影部分的面积等于△ABD的面积．
解 设圆的半径为R，则．
以A为圆心，AD为半径画出的扇形ABED的面积，弓形BED的面积为，所以月牙形阴影部分的面积等于，即与△ABD的面积相等．
变式3 如图，从一个半径是r的圆形铁皮中剪出一个圆心角为? 的扇形，求扇形的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径．
解 连结OA，OB，OC，则OA = OB = OC = r，∠BOC = 2∠BAC，OA平分∠BAC，即，∠BOC = 2?．过O作OD⊥AB于D，则OD平分AB，于是AB = 2AD．
OCABD在Rt△ADO中，，
O
C
A
B
D
因此，扇形ABC的面积为，
BC弧长为．
∵ eq \o(BC,\s\up5(⌒))所对的圆心角为2?，
∴ 将扇形围成圆锥，则圆锥底面圆的半径r1 满足2?r1 =eq \o(BC,\s\up5(⌒))=，得．
25．1 概率
题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P1391题）
解 落在海洋里的可能性更大．
点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．
演变
变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？
解 落在海洋里的概率为，落在陆地上的概率为．
变式2 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针
扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．
A． B． C． D．
解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为，正三角形的内切圆半径
，内切圆的面积为，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为，选C．
60xyO601515变式3 甲
60
x
y
O
60
15
15
解 以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人
能够会面的条件是∣x－y∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x，y）
的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为．
说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S的区域中有任意一个小区域A，小区域的面积为SA，则任意投点，点落入A中的可能性大小与SA成正比，而与A的位置及形状无关，为．
注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则面积就改为体积．
25.2 用列举法求概率
题目 在6张卡片上分别写有1－6的整数．随机地抽取一张放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？（P154练习第1题）
解 设第一次随机地取出的数字为a，第二次随机地取出的数字为b，则（b，a）共有36种情况．
a
b
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
从上表可知，b能够整除a的情况有（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（2，2），（4，2），（6，2），（3，3），（6，3），（4，4），（5，5），（6，6），共14种．
因此，所求的概率为．
点评 用列表或画树状图的方法，可以不重不漏的列举事件发生的所有结果，我们把这两种方法统称为列举法；列举法只适用于等可能事件；等可能事件的特点是：出现的结果是有限多个，各结果发生的可能性相等．
用列举法求概率的一般步骤是：（1）用列表或画树状图的方法，列举出事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果个数n及所求事件出现的结果个数m；（3）利用公式计算所求事件A的概率，即．
列表或画树状图都可以清晰地、不重不漏的表示出某个事件发生的所有可能结果，从而很方便地求出某些事件发生的概率．
当试验包含两步时，列表法比较方便，也可以用画树状图法；当试验在三步或三步以上时，用画树形图的方法方便．
演变
变式1 求第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率是多少？（答案：）
变式2 把第一次取出的数字作分母，第二次取出的数字做分母，所求得分数是真分数的概率？（答案：）
变式3 求两次取出的数字和大于8的概率？（答案：）
变式4
同时抛掷两枚均匀的正方体骰子．求：（1）掷得两个6的概率；（2）两枚骰子的点数之和为奇数的概率；（3）两枚骰子的点数之积为奇数的概率；（4）
所得两个点数之和大于9的概率．（答案：（1）（2）（3）（4））
变式5 已知关于x的不等式ax－3＜0（其中a≠0）．（1）当a = 2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；（2）在6张卡片上分别写有1－6的整数，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率．
（答案：（1），在数轴上的表示略 （2））
变式6 小明和小颖做抽取卡片（6张卡片上分别写有1－6的整数）游戏，规则如下：
① 游戏前，每人选一个数字； ② 每次各抽取1张卡片； ③ 如果同时抽取的1张卡片点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜．
（1）列出同时抽取的卡片数字所有可能出现的结果；
（2）已知小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由．
（答案：（1）略 （2）同时抽取两张卡片，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足两张卡片点数和为5（记为事件A）的结果有4种，即（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），所以小明获胜的概率为．满足两张卡片点数和为6（记为事件B）的结果有5种，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），所以小颖获胜的概率为．要想使自己获胜的概率比他们大，必须满足两张卡片点数和出现的结果多于5种，由所列表格可知，只有两张卡片点数和为7（记为事件C）的结果多于5种，有6种，即（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），所以．因此，要想使自己获胜的概率比他们大，所选数字应为7．）
变式7 A箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5．现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片，请你用列表或画树状图的方法求：（1）取出的两张卡片数字恰好相同的概率；（2）如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．（答案：（1） （2））
说明 由于两次取出来的数字互有较强的关系，所以可以据此编出有关这两次数字的加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、不等式、指数、对数，甚至函数的概率问题．