初中数学九上课本变式题

 实用文案

 九年级上册·课本亮题拾贝

 课本中的例、习题是经过编者反复琢磨,认真筛选后精心设置的,具有一定的探究性.在教学的过程中要立足课本,充分发挥课本例、习题的教学功能,可以有效地避免题海战术,不但有利于巩固基础知识,而且还能增强同学们的应变能力,发展创新思维,提高数学素养.

 21.1 二次根式

 题目 计算:.(人教课本P8 2(4)题)

 解 原式=.

 点评 大家知道,当a≥0时,有意义,且.而当a<0时,也有意义,此时,进一步的,则等于-a(-a>0).为了预防解题粗心出错(如),通常是根据平方(或立方)的意义,先处理掉(好)符号,再按有关顺序和规定运算.

 演变

 变式1 填空:(1)= ;(2)= .(答案:(1) (2))

 变式2 当x 时,式子在实数范围内有意义? (答案:>)

 变式3 若是整数,求正整数n的值(至少写出3个).

 (答案:n = 1,2,9,17等.)

 变式4 是否存在正整数n,使得是有理数?若存在,求出一个n的值;若不存在,请说明理由.

 解 假设存在正整数n,使是有理数,则因为3n + 2是正整数,所以3n + 2应该是一个完全平方数.

 假设3n + 2等于k(k≥3,k是正整数)的平方,则k = 3p或者3p + 1或者3p + 2,也就是说k除以3余0或者1或者2,而(3p)2 除以3余0,(3p + 1)2 = 9p2 + 6p + 1,(3p + 2)2 = 9p2 + 12p + 4 除以3都余1,所以没有数的平方除以3余2.表明3n + 2不是完全平方数,从而假设不成立,因此,不存在正整数n,使是有理数.

 21.2 二次根式的乘除

 题目 计算:.(人教课本P15 6(4)题)

 解 原式== 15.

 另法 原式=.

 点评 进行二次根式的乘除运算时,根据乘法、除法规定((a、b≥0),(a≥0,b>0)),可以从左往右正向使用(如另法),也可以从右往左逆向使用(法一),往往可视其具体题目的数字特点和结构特征,灵活选用.一般情况是尽可能先把根式化简,大数化小,遇到字母开平方时,必须注意字母的正、负性(或讨论).

 演变

 变式1 填空:(1)= ;

 (2)= . (答案:(1) (2))

 因为原式=,2 + 3 = 5,

 所以设2 = a,3 = b,则 5 = a + b,题目可演变成如下形式:

 变式2 化简:.

 解 原式== b(a + b)= ab + b2.

 若赋予a一些不同的值(相应的可得到b的值),则可得到一组二次根式的乘法除法试题

 变式3 甲、乙两同学在化简 时,采用了不同的方法:

 甲: 因为x,y是二次根式的被开方数,且在分母上,所以x>0,y>0,

 于是令 x = 1,y = 1,代入可得,原式=.

 乙: 原式=.

 从而得出了不同的结果.请指出甲、乙同学的做法是否正确?说明理由.

 解 甲,乙两同学的做法都不正确.

 甲同学犯了以特殊代替一般的错误,虽然最终结果是.

 乙同学对题目形式上的意义理解错误,通常是一个整体,是被除式.

 正确解法是:原式=.

 21.3 二次根式的加减

 题目 已知,,求下列各式的值:

 (1)x2 + 2xy + y2; (2)x2-y2. (人教课本P21 6题)

 解 ∵ ,,

 ∴ ,x-y = 2,xy = 2.

 于是 x2 + 2xy + y2 =(x + y)2 =,

 x2-y2 =(x + y)(x-y)=.

 点评 本题属于“给值求值”类型,一般不宜直接代入算值.通常的思路是:先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简,充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系,然后再看情况灵活地代入,往往能简捷而巧妙地求值.

 演变

 变式1 已知,,求:(1),(2)的值.

 解 由已知可得a + b = 2,,ab =-1.

 (1)原式=.

 (2)原式=.

 变式2 如果实数a,b满足a2 + 2ab + b2 = 12,,求的值.

 解 显然b≠0,于是由已知,得,

 ∴ ,即 ,

 有,因此.

 说明 上述解法,既抓住了已知式的特征(两个等式的左边有公因式,约后能降次,但要注意是否为0啰!),又避免了解方程组的难点.本题还可以进一步求出a、b的值.

 ∵ ,∴(x-1)2 = 3,得x2-2x = 2,结合x≠0,两边除以x,

 得,注意到,则=,,得

 变式3 若实数x满足,试求:(1);(2);(3)的值.

 (答案 (1)8 (2) (3))

 22.2 降次 —— 解一元二次方程

 题目 无论p取何值时,方程(x-3)(x-2)-p2 = 0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.(人教课本P4612题)

 解 原方程可化为x2-5x + 6-p2 = 0.

 方程根的判别式为 △=(-5)2-4(6-p2)= 1 + 4p2,

 对任何实数值p,有1 + 4p2>0,

 ∴ 方程有两个实数根 x1 =,x2 =,且两个根不相等.

 另法 由 p2 =(x-3)(x-2)= x2-5x + 6 =,

 得 ,无论p取何值≥,因此.

 点评 解一元二次方程有配方法,公式法或因式分解法.一般来说,公式法对于解任何一元二次方程都适用,是解一元二次方程的主要方法,但在具体解题时,应具体分析方程的特点,选择适当的方法.

 (1)要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时,常常只须考查方程根的判别式.

 (2)见到含字母系数的二次方程,在实数范围内,首先应有△≥0;若字母在二次项系数中,则还应考虑其是否为0.

 (3)关于一元二次方程有实数根问题,一般有三种处理方式(何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定):① 利用求根公式求出根来;② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来:x1 + x2 = x1x2 =,以便后继作整体代换;③ 将根代入方程中进行整体处理.

 演变

 变式1 分别对p赋值0,2,等,可得如下确定的方程:

 解方程:(1)x2-5x + 6 = 0;(2)x2-5x + 1 = 0;(3)4x2-20x + 21 = 0.

 变式2 当x取什么范围内的值时,由方程(x-3)(x-2)-p2 = 0确定的实数p存在?请说明理由.

 解 对任意实数p,有p2≥0,所以只需p2 =(x-3)(x-2)≥0,利用同号相乘得正的原理,得x应满足 或 解得x≥3或x≤2.

 表明,当x取x≤2或x≥3范围内的实数时,由方程(x-3)(x-2)-p2 = 0确定的实数p存在.

 变式3 指出方程(x-3)(x-2)-p2 = 0的实数根所在的范围?

 解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x1 =,x2 =,

 且对任意实数p,有1 + 4p2≥1,∴ 有x1≥,x2≤,

 即方程的实数根所在的范围是x≤2或x≥3.

 变式4 试求y =(x-3)(x-2)的最小值.

 解 由 y =(x-3)(x-2)= x2-5x + 6 =,

 得 y的最小值为,当时取得.

 22.3 实际问题与一元二次方程

 题目 如图,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中

 有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2,如果要使彩条

 所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(精确

 到0.1 cm)?(人教课本P5310题)

 分析 结合图形,阅读理解题意(数形结合).矩形图案中,长30 cm,宽20 cm.现设计了横、竖彩条各2条,且其宽度比为3:2,于是设横彩条宽为3x cm,则竖彩条的宽就为2x cm,其长与矩形图案的长宽相关.等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”.

 解 根据题意,设横向彩条的宽为3x,则竖向彩条的宽为2x,于是,

 2x 2x

 2x 2x

 3x

 3x

 30

 20

 化简,得 12x2-130x + 75 = 0.

 解得 .

 因此横向彩条宽1.8 cm,竖向彩条宽1.2 cm.

 另法 如图,建立方程,得 .

 法三 如图,建立方程,得 .

 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为:

 (1)设:即设好未知数(直接设未知数,间接设未知数),不要漏写单位

 (2)列:根据题意,列出含有未知数的等式,注意等号两边量的单位必须一致;

 (3)解:解所列方程;

 (4)验:一是检验是否为方程的解,二是检验是否为应用题的解;

 (5)答:即答题,怎么问就怎么答,注意不要漏写单位.

 演变

 变式1 矩形图案的长、宽不变,但设计的两横两竖彩条的宽度相同,如果彩条的面积是图案面积的四分之一,求彩条的宽. (答案:)

 变式2 矩形图案的长、宽不变,现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形,其面积是整个矩形面积的四分之三,上下边等宽,左右等宽,应如何设计四周的宽度?

 解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2,所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2,设其长为3x,则宽为2x,所以 ,得 ,从而上、下边宽为

 ,左、右宽为 .

 xx变式3 如图,一边长为30 cm,宽20 cm的长方形铁皮,四角各截去一个大小相同的正方形,将四边折起,可以做成一个无盖长方体容器.求所得容器的容积V关于截去的小正方形的边长x的函数关系式,并指出x

 x

 x

 解 根据题意可得,V关于x的函数关系式为:

 xV =(30-2x)(20-2x)x.

 x

 即 V = 4x3-100x2 + 600x,

 x的取值范围是0<x<10.

 变式4 在一块长30 m、宽20 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占的面积为荒地面积的一半.

 小明的设计方案如图甲所示,其中花园四周小路的宽度都相等.小明通过列方程,并解方程,得到小路的宽为2.5 m或22.5 m.

 小亮的设计方案如图乙所示,其中花园每个角上的扇形(四分之一圆弧)都相同.

 解答下列问题:

 (1)小明的结果对吗?为什么?

 (2)请你帮小亮求出图乙中的x ?

 (3)你还有其他设计方案吗?

 20

 20 m

 30 m

 x

 20 m

 30 m

 20 m

 30 m

 甲 乙

 解 (1)小明的设计方案:由于花园四周小路的宽度相等,设其宽为x米.

 则根据题意,列出方程,得 ,即 x2-25x + 75 = 0,解得x =或x =.由于矩形荒地的宽是20 m,故舍去x =,得花园四周小路宽为m,所以小明的结果不对.

 (2)小亮的设计方案:由于其中花园的四个角上均为相同的扇形,所以设扇形的半径为x米,列方程得 ,所以m.(3)略.

 23.1 图形的旋转

 题目 如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系?你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?(人教课本P679题)

 BCDAE解 ∵

 B

 C

 D

 A

 E

 ∴ AB = AD,∠BAD = 60?.

 同理AE = AC,∠EAC = 60?.

 ∴ 以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60? 就得到△CAD,

 ∴ △ABE≌△ADC,从而 BE = DC.

 另法 ∵ △ABD,△AEC都是等边三角形,

 ∴ AB = AD,AE = AC,∠BAD =∠EAC = 60?,

 于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB.

 从而有 △CAD≌△EAB,

 ∴ DC = BE.

 点评 由于旋转是刚体运动,旋转前、后的图形全等,所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,疏通解题突破口.

 CB

 C

 B

 A

 E

 D

 变式1 如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,

 △EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的?

 说明理由.(人教课本P805题)

 ACBED说明:如上题图,去掉BC,把D,

 A

 C

 B

 E

 D

 CA

 C

 A

 B

 E

 D

 (1)△ABC与△CDE在BC的异侧.

 (2)点C在BD的延长线上.

 (3)C点在BD外.

 (4)△ACD与△BDE在BD的异侧,

 且D点在BC的延长线上.

 BCDAFEGACBEDCBAED(5)△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三角形,即AB = AC

 B

 C

 D

 A

 F

 E

 G

 A

 C

 B

 E

 D

 C

 B

 A

 E

 D

 C

 C

 B

 A

 E

 D

 BCAED变式2 如图,四边形ABCD

 B

 C

 A

 E

 D

 与CE有什么关系?说明理由.

 变式3 如图,△ABD,△AEC都是等腰直角三角形,则

 BE与DC有什么关系?

 DE

 D

 E

 B

 C

 A

 O

 题目 如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,

 ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC,AD,BD的长.

 (人教课本P93例2)

 解 ∵ AB是直径,∴ ∠ACB =∠ADB = 90?.

 在Rt△ABC中,BC2 = AB2-AC2 = 102-62 = 82,即 BC = 8.

 ∵ CD平分∠ACB, ∴ eq \o(AD,\s\up5(⌒))=eq \o(BD,\s\up5(⌒)),于是AD = BD.

 又在Rt△ABD中,AD2 + BD2 = AB2,

 ∴ .

 点评 在涉及圆中的有关弧,弦(直径),角(圆心角,圆周角)等问题中,垂径定理,同圆中的关系(在同圆或等圆中,圆心角相等 ? 弧相等 ? 弦相等 ? 弦心距相等 ? 圆周角相等)是转化已知,沟通结论的纽带.

 其中半圆(或直径)所对的圆周角是直角还联结了勾股定理(将出现代数等式).

 演变

 变式1 在现有已知条件下,可进一步的,求四边形ACBD的面积等于多少?

 解 由例题及解答可知,△ACB,△ADB都是直角三角形,于是四边形ACBD的面积等于cm2.

 变式2 求内角平分线CE的长?

 抽取出图形中的基本图Rt△ABC,因为AC:BC:AB = 3:4:5,于是,

 DEBCA斜边上的高

 D

 E

 B

 C

 A

 设∠ACB的平分线为CE,过E向两直角边作垂线,则其长相等,

 设为x,于是,由 ,得

 ACDBE, ∴

 A

 C

 D

 B

 E

 变式3 如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与

 三角形的外接圆交于点D,求证:BD = CD.

 解 因为圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角

 都等于它的内对角,所以有∠DAE =∠DCB,而∠DAC =∠DBC

 (同eq \o(CD,\s\up5(⌒))所对的圆周角相等),结合题设AD是∠EAC的平分线,

 则有∠DCB =∠DBC,所以 BD = CD.

 变式4 如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?(课本P93练习第1题)

 解 ∠1 =∠4,∠2 =∠7,∠3 =∠6,∠5 =∠8.

 ODB

 O

 D

 B

 C

 A

 E

 O

 P

 C

 A

 B

 5

 4

 3

 2

 1

 7

 8

 A

 C

 D

 B

 6

 变式5 如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠CPB = 60?,判断△ABC的形状并证明你的结论.(课本P95第11题)

 解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60?,∴ ∠ABC =∠APC = 60?,因而△ABC是等边三角形.

 变式6 (托勒密定理)AC · BD = AB · CD + AD · BC(见上图).

 24.2 与圆有关的位置关系

 题目 如图,△ABC中,∠ABC = 50?,∠ACB = 75?,点O是内心,求∠BOC的度数.(人教课本P1061题)

 解 ∵ O是△ABC内切圆的圆心(内心),

 BCOA∴ OB,OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线.

 B

 C

 O

 A

 ∵ ∠ABC = 50?,∠ACB = 75?,

 ∴ ∠OBC = 25?,∠OCB = 37.5?,

 因此 ∠BOC = 180?-25?-37.5? = 117.5?.

 点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角,且到三条边的距离相等”这些事实,很容易促进角或线段的转化,突破关键,解决问题.

 演变

 变式1 已知周长为l的△ABC的内切圆半径等于r,求△ABC的面积.

 解 设内心为O,连接OA,OB,OC,则OA、OB、OC把△ABC分割成三个易求的小三角形,其面积的和为:

 =.

 BCOA变式2 如图,点O是△ABC

 B

 C

 O

 A

 解 ∵

 =,

 ∴ .

 DBCOA说明 变式2有多种不同的解法,如连结AO并延长,或延长BO交

 D

 B

 C

 O

 A

 变式3 如图,△ABC中,∠B<∠C,O在∠A的平分线上,

 求证:AB + OC>AC + OB.

 证明 ∵ ∠B<∠C,∴ AB>AC,于是在AB上取点D,

 使AD = AC,连结OD,则由已知和作图,可得

 △AOC≌△AOD,进而OC = OD.

 在△OBD中,有 BD + OD>OB,

 DBCOAE∴(AB + OC)-(AC + OB)=(AB-AD)+ OD-OB = BD

 D

 B

 C

 O

 A

 E

 故 AB + OC>AC + OB.

 变式4 如图,△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点O,

 过O的直线DE∥BC,DE分别交AB、AC于D、E,

 求证:DE = BD + CE.

 解 由已知DE∥BC,BD、CO分别平分∠B、∠C,可以发

 现△BDO和△CEO是等腰三角形,于是有BD = DO,CE = OE,

 因此BD + CE = DO + OE = DE.

 变式5 如图,B、C在射线AD、AE上,BO、CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线.

 ABDOEC4321

 A

 B

 D

 O

 E

 C

 4

 3

 2

 1

 (2)若∠A = 90?,120? 时,∠O分别是多少度?

 (3)求∠A 与∠O的关系式.

 解 ∵ BO、CO是∠DBC和∠ECB的平分线,

 ∴ ∠DBC = 2∠2,∠ECB = 2∠3,

 ∴ ∠ABC = 180?-2∠2,∠ACB = 180?-2∠3.

 在△ABC中,∠A +∠ABC +∠ACB = 180?,

 ∴ ∠A + 180?-2∠2 + 180?-2∠3 = 180?,

 即∠2 +∠3 = 90? + ∠A.

 在△BOC中,∠2 +∠3 +∠O = 180?, ∴ ∠O = 90?-∠A.

 (1)当∠A = 60? 时,∠O = 90?-× 60? = 60?.

 (2)当∠A = 90? 时,∠O = 90?-× 90? = 45?.当∠A = 120? 时,∠O = 90?-× 120? = 30?.

 CBADE(3)∠A 与∠O的关系式为∠O +∠A = 90

 C

 B

 A

 D

 E

 24.3 正多边形与圆

 题目 画一个正五边形,再作出它的对角线,

 得到如图所示的五角星.(人教课本P1172题)

 解 先画一个圆,将圆五等分,分点依次为A,B,

 C,D,E,顺次连结这些点,得正五边形ABCDE,再作

 出正五边形的对角线AC,AD,BD,BE,CE,即得如图所示的五角星.

 点评 正多边形与圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧(或把圆心角分成一些相等的角),就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆,如上所示作出的是一个正五角星.

 CBA

 C

 B

 A

 D

 E

 M

 N

 变式1 求五角星中五个角的和.

 解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D,∠ANM =∠C +∠E,

 ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180?.

 表明正五角星中五个角的和为180?.

 另法 连结CD,则在△AEF和△CDF中,

 FCBADE有 ∠B +∠E = 180?-∠BFE = 180?-∠CFD =∠

 F

 C

 B

 A

 D

 E

 在△ACD中,∠A +∠ACD +∠ADC = 180?,

 即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180?.

 ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180?.

 说明 正五角星中每个角都是36?.

 变式2 如变式1的图,在正五角星中存在黄金分割数,

 CBADE可以证明(参见人教版课本46页“阅读与思考 ——

 C

 B

 A

 D

 E

 变式3 如图,是将不规则的五角星改为退化的五角星,

 则其五个角的和等于多少?

 解 如图,将其转化为不规则的五角星,问题立即获解,

 五个角的和等于180?,或连结两个顶点后利用三角形内角和

 定理即可解决.

 变式4 六角星,七角星,甚至n角星的各个顶角之和等于多少?

 解 都等于180?.

 说明 解答星型n边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180?及其推论”,设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中,这是解答此类题目的金钥匙.

 24.4 弧长和扇形面积

 CABO题目 如图,从一个直径是1 m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90? 的扇形,求被剪掉的部分的面积;如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆的半径是多少?(人教课本

 C

 A

 B

 O

 解 连结BC,因为扇形的圆心角为90?,所以BC过圆心O

 (即BC是直径),于是在等腰直角三角形ABC中,

 ,扇形的面积为,

 扇形的弧长为 ,因此被剪掉的部分的面积为(m2).

 将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆的半径r满足 ,得(m).

 点评 求解图形(阴影部分)的面积时,通常是利用等积变换,分割、重叠等,把求图形(阴影部分)的面积转化为求圆,扇形,弓形,三角形或多边形等基本图形的面积.

 CD

 C

 D

 A

 B

 O

 E

 lrh变式1 求所围成的圆锥的高h和体积

 l

 r

 h

 解 ,

 .

 变式2 如图,AC,BD是⊙O中两条互相垂直的直径,以A为圆心AB为半径画弧eq \o(BD,\s\up5(⌒)),求证:月牙形阴影部分的面积等于△ABD的面积.

 解 设圆的半径为R,则.

 以A为圆心,AD为半径画出的扇形ABED的面积,弓形BED的面积为,所以月牙形阴影部分的面积等于,即与△ABD的面积相等.

 变式3 如图,从一个半径是r的圆形铁皮中剪出一个圆心角为? 的扇形,求扇形的面积;如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,求圆锥底面圆的半径.

 解 连结OA,OB,OC,则OA = OB = OC = r,∠BOC = 2∠BAC,OA平分∠BAC,即,∠BOC = 2?.过O作OD⊥AB于D,则OD平分AB,于是AB = 2AD.

 OCABD在Rt△ADO中,,

 O

 C

 A

 B

 D

 因此,扇形ABC的面积为,

 BC弧长为.

 ∵ eq \o(BC,\s\up5(⌒))所对的圆心角为2?,

 ∴ 将扇形围成圆锥,则圆锥底面圆的半径r1 满足2?r1 =eq \o(BC,\s\up5(⌒))=,得.

 25.1 概率

 题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大?(人教课本P1391题)

 解 落在海洋里的可能性更大.

 点评 可能性是指能成为事实的属性.然而世界上有很多事情具有偶然性,人们不能事先判断这些事情是否会发生.概率就是从数量上用来描述(刻画)随机事件发生的可能性的大小.对这一问题,需要充分把陨石抽象成随机地散落,地球也是必须抽象成平辅的面,与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上(不可能弯曲行进而落在背面上).我们生活的地球,脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面,而是大致接近于球面.

 演变

 变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大?

 解 落在海洋里的概率为,落在陆地上的概率为.

 变式2 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针,则针

 扎到正三角形的内切圆(即阴影部分)区域的概率为( ).

 A. B. C. D.

 解 设正三角形的边长为单位1,则正三角形的面积为,正三角形的内切圆半径

 ,内切圆的面积为,针扎到正三角形的内切圆(即阴影部分)区域的概率为,选C.

 60xyO601515变式3 甲

 60

 x

 y

 O

 60

 15

 15

 解 以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人

 能够会面的条件是∣x-y∣≤15.在平面直角坐标系中,点(x,y)

 的所有可能结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示,所以两人能会面的概率为.

 说明 把上述问题抽象成如下模型是:设在面积为S的区域中有任意一个小区域A,小区域的面积为SA,则任意投点,点落入A中的可能性大小与SA成正比,而与A的位置及形状无关,为.

 注意,如果是在一个线段上投点,那么面积则改为长度;如果是一个立方体内投点,则面积就改为体积.

 25.2 用列举法求概率

 题目 在6张卡片上分别写有1-6的整数.随机地抽取一张放回,再随机地抽取一张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少?(P154练习第1题)

 解 设第一次随机地取出的数字为a,第二次随机地取出的数字为b,则(b,a)共有36种情况.

 a

 b

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 1

 (1,1)

 (1,2)

 (1,3)

 (1,4)

 (1,5)

 (1,6)

 2

 (2,1)

 (2,2)

 (2,3)

 (2,4)

 (2,5)

 (2,6)

 3

 (3,1)

 (3,2)

 (3,3)

 (3,4)

 (3,5)

 (3,6)

 4

 (4,1)

 (4,2)

 (4,3)

 (4,4)

 (4,5)

 (4,6)

 5

 (5,1)

 (5,2)

 (5,3)

 (5,4)

 (5,5)

 (5,6)

 6

 (6,1)

 (6,2)

 (6,3)

 (6,4)

 (6,5)

 (6,6)

 从上表可知,b能够整除a的情况有(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6),共14种.

 因此,所求的概率为.

 点评 用列表或画树状图的方法,可以不重不漏的列举事件发生的所有结果,我们把这两种方法统称为列举法;列举法只适用于等可能事件;等可能事件的特点是:出现的结果是有限多个,各结果发生的可能性相等.

 用列举法求概率的一般步骤是:(1)用列表或画树状图的方法,列举出事件所有可能出现的结果,并判断每个结果发生的可能性是否相等;(2)如果都相等,再确定所有可能出现的结果个数n及所求事件出现的结果个数m;(3)利用公式计算所求事件A的概率,即.

 列表或画树状图都可以清晰地、不重不漏的表示出某个事件发生的所有可能结果,从而很方便地求出某些事件发生的概率.

 当试验包含两步时,列表法比较方便,也可以用画树状图法;当试验在三步或三步以上时,用画树形图的方法方便.

 演变

 变式1 求第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率是多少?(答案:)

 变式2 把第一次取出的数字作分母,第二次取出的数字做分母,所求得分数是真分数的概率?(答案:)

 变式3 求两次取出的数字和大于8的概率?(答案:)

 变式4

 同时抛掷两枚均匀的正方体骰子.求:(1)掷得两个6的概率;(2)两枚骰子的点数之和为奇数的概率;(3)两枚骰子的点数之积为奇数的概率;(4)

 所得两个点数之和大于9的概率.(答案:(1)(2)(3)(4))

 变式5 已知关于x的不等式ax-3<0(其中a≠0).(1)当a = 2时,求此不等式的解,并在数轴上表示此不等式的解集;(2)在6张卡片上分别写有1-6的整数,从中任意抽取一张,以卡片上的数作为不等式中的系数a,求使该不等式没有正整数解的概率.

 (答案:(1),在数轴上的表示略 (2))

 变式6 小明和小颖做抽取卡片(6张卡片上分别写有1-6的整数)游戏,规则如下:

 ① 游戏前,每人选一个数字; ② 每次各抽取1张卡片; ③ 如果同时抽取的1张卡片点数之和,与谁所选数字相同,那么谁就获胜.

 (1)列出同时抽取的卡片数字所有可能出现的结果;

 (2)已知小明选的数字是5,小颖选的数字是6.如果你也加入游戏,你会选什么数字,使自己获胜的概率比他们大?请说明理由.

 (答案:(1)略 (2)同时抽取两张卡片,可能出现的结果有36种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足两张卡片点数和为5(记为事件A)的结果有4种,即(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以小明获胜的概率为.满足两张卡片点数和为6(记为事件B)的结果有5种,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以小颖获胜的概率为.要想使自己获胜的概率比他们大,必须满足两张卡片点数和出现的结果多于5种,由所列表格可知,只有两张卡片点数和为7(记为事件C)的结果多于5种,有6种,即(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),所以.因此,要想使自己获胜的概率比他们大,所选数字应为7.)

 变式7 A箱中装有3张相同的卡片,它们分别写有数字1,2,4;B箱中也装有3张相同的卡片,它们分别写有数字2,4,5.现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片,请你用列表或画树状图的方法求:(1)取出的两张卡片数字恰好相同的概率;(2)如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字,取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字,求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率.(答案:(1) (2))

 说明 由于两次取出来的数字互有较强的关系,所以可以据此编出有关这两次数字的加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、不等式、指数、对数,甚至函数的概率问题.