九年级数学复习的思考与研究
甘井子区教师进修学校 中教部 任乙凡
如果说效率是一个企业的生命力，那么九年级的复习备考的效率，也是中考质量的分水岭。大家都知道，备考的时间是一个常数，我们不能决定时间的长短，但我们可以通过高效的复习拓宽时间的厚重。下面就九年级备考的复习现状谈谈我对提高九年级数学备考复习的效益的研究和思考，抛砖引玉。
一、九年级复习现状分析
通过下校调研，我发现在九年级数学复习中，有很多学校复习的现状是值得深思的。
1. 复习目标不明确----一节课复习什么？复习到什么程度？学生怎样复习才有效？教师学生都不清楚
2. 复习内容不全面--- “四基”中只复习了“两基”， 丢掉更重要的“两基”；
3. 复习主体不够明确---学生在复习之外。复习课中教师似“主人”，学生似“客人”；
4. 复习方法不够科学---复习方法单一、以做题代复习，即：做题--讲题---再做题---讲题；
5.复习效果不够理想---复习中简单的知识再现、试题再现占用了大量的复习时间，导致复习费时、低效。
二、九年级数学复习的基本策略
九年级数学复习的基本策略应该是什么？我个人认为应该是：
明确复习的目标和方向，以学生为本，夯实“四基”，形成结构。
1.明确复习的目标和方向---九年级的数学复习，必须以“数学课程标准”、 “09年大连市数学考试说明”及《数学学科质量标准》为依据。因为《数学课程课标》、《考试说明》及《数学学科质量标准》指出了我们备考方向的目标。只有明确了复习的方向和目标，才能保证我们九年级数学复习的的目的性、针对性和实效性。
2.以学生为本---九年级的数学复习应基于你所教的学生的学情、以学生为主体去思考每一课学生该复习什么？复习到什么程度？学生怎样进行复习。
3.夯实“四基”---不仅要重视基础知识、基本技能，更要注重基本的数学思想方法和基本的数学活动经验的积累。
4.形成结构---使学生在全面复习的基础上形成完整的知识结构和认知策略。
三．九年级数学复习的重点内容
数学的基础知识---后续学习的基础
数学的基本技能---正确、规范、迅速
数学基本的思想、方法---数学最本质的东西
数学最基本的活动经验---解决不同类问题时有不同的策略
四．九年级数学复习课的模式
五．打造九年级数学高效的复习课
每一位数学教师在你的每一节复习课中若都能很好的解决三个核心的问题，一是学生这节课复习什么？二是学生应复习到什么程度？三是学生怎样进行复习？那么，你的复习课就一定是一个高效的复习课。
下面以分式复习案例来做以说明。（学案见附件）
学生复习什么 复习到什么程度 怎样进行复习
学生活动安排：
为什么说这样的复习课一定会是一个高效的复习课呢？我们分析其复习的全过程：
活动1----学生在明确复习目标和已有学习基础上，以一个新的角度投入自主复习，进而了解自己分式学习的情况；
活动2----学生在自主复习后，结合学案和教材，自己归纳总结分式的知识结构和能力结构，进而使分式自动成为自己认知结构中的部分
活动3----学生结合复习和学案学习进行展示与交流，使学生在自主复习、同伴互助、教师指导下中进一步巩固强化分式中的重、疑、难点；
活动4----学生在自己的知识结构中，对分式进行拓展和升华；
活动5----学生通过测试可以及时了解并反思自己的复习效果。
在这个复习的全过程中，学生始终是复习的主人。学生复习目标清晰，学生复习自主，学生复习全面，而教师教始终都在服务于学生这个主体复习中的所需、所求、所疑，复习的针对性和实效性自然决定其高效性。
六．注重数学思想方法的复习
在《数学课程标准》中明确指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成。”…数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验
数学思想方法是人们对数学内容的本质认识，也必然是学生对数学最本质的学习。但是在数学教学中最本质的东西却往往被教师忽略，其原因呢？因为数学思想和方法不像基础知识和基本技能那样，被白纸黑字的写在教材中，而是在研究某个数学知识中自然渗透的。如分式学习的全过程中都是类比学生已经学过的分数进行的，又如相似三角形的学习始终是在与全等三角形的类比中学习的.由此可见，类比的思想方法应该成为学生今后学习和研究问题的一种思想和方法。所以在九年级复习中，应强化这种数学思想方法的复习。
为此，我们可以安排如下复习内容
问题1：已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC
D为AB边任意一点 ， AD=nDB .
操作：将直角三角板的直角顶点放在D处，两直角边分别交直线AC、BC于F、E.
探究：DE与DF的数量关系.
初看到操作后的图形（图1）学生会感觉很茫然，不知从何处去思、去想。
我们可以教给学生如何用类比的思想方法去思、去想。即先想特殊图形或特殊位置、特殊值（n=1）.(如图2)于是，学生很容易在图2中，由Rt△DME≌Rt△DNM,进而探究出DE与DF的数量关系，然后，再类比特殊中得到的结论和方法，去研究图1，发现原本全等的两个三角形在条件弱化后，变成了两个相似的三角形，于是结论自然得出。
变式练习1： 在操作中，若将直角三角板的
直角顶点放在D处，两直角边分别交AC 、
CB的延长线于点E、F.( 图3)
探究：DE与DF的数量关系是否改变？
学生有了上题的用类比的思想解决问题的认知策略后，会发现此题又是图2的一般情况，结论、方法在类比中都可自然得出。
变式练习2：在△ABC，AC= BC，
∠C=100°，O为AB中点，∠MON=80°
请你探究线段OM、ON的关系。
通过探究学生会发现此问题是问题1中的更一般情况，当然还可以类比原题中的认知策略方得出结论。
变式练习3：若将在变式2中“O为AB中点”改为“O为AB上任意一点”，
试探究线段OM、ON的关系还与△ABC的哪些因素有关？
通过探究学生会发现此问题是变式2中的更一般情况，当然还可以类比原题中的认知策略方得出结论。
问题2：请你用类比的思想方法完成下例问题
两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置(图5)，点B、A、D在同一条直线上。BF是∠ABC的平分线过，点D作DF⊥BF，垂足为F，连结CE.试探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论.
此时，学生只要能将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”这个一般图形，转化为如图6 的特殊图形，即“两个全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA (点C、A、E在同一条直线上)”，其他条件不变，学生就可以很快完成探究和证明。然后，再类比特殊中的得出的结论和方法，去研究图5，进而在类比中发现结论和证明的思路。
问题3（08市一摸25）如图25－1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
⑴求证：ME = MF．
⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．
⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．
这个问题仍然是用类比思想方法来解决。只是它首先从一组邻边相等，且有一个角是直角的最特殊的平行四边形---正方形入手，由两个三角形的全等，很容易证得：ME = MF．然后，将已知条件弱化为只有一组邻边相等的特殊平行四边形---菱形和只有有一个角是直角的特殊平行四边形---矩形，而在25-4中则再将已知条件中一组邻边相等或有一个角是直角的条件弱化，使问题更加一般化。学生有了利用类比的思想解决问题的认知策略，只要在与25-1同样的思路中分析出在条件弱化的同时，在25-1中证明的两个全等三角形是否随之弱化为形似三角形，就自然得出各种情形下的正确结论。
在此基础上让学生试一试，解决如下两个题目，你认为学生会怎样？
1.（08年浙江金华市23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结 、 ，且a=3，b=2，k= ，求 的值．
2.（08年大连市25）点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC = kAB，连结AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF =∠ABC，EF交直线m于点F．
⑴如图15，当k = 1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；
说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；
②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图16中补全图形，完成证明(选择添加条件比原题少得3分)．
⑵如图17，若∠ABC = 90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．
通过以上复习，学生不仅仅只是会解了几个难题，而是在类比的数学思想方法的领悟中,掌握了一种由特殊如何推一般，由一般如何想特殊，进而再解决一般的的认知策略。
学生把握了数学最本质的东西，抓住了数学的灵魂，还有学生解决不了的数学问题吗？
总之，我们在九年级复习中，通过创设宽松、自主、合作、共赢的课堂学习环境和教师的恰当的启发引导，激发和满足了学生的复习欲望和内在的心理需求，培养和强化学生在复习中的自主发展意识、自我表现意识和团队合作意识，让学生及时体验到复习中的成功和快乐，在复习中不仅学会了知识，而且会学了学习，就能让我们的九年级数学备考收到最大效益。
当然，以上只是我个人的一些粗浅的看法，因为水平所限，难免挂一漏万，希望得到各位数学专家、老师批评指正。
九年级的备考是一片撒播种子的土地，我相信只要我们用心去思考、去研究、去实践，2009年备考这片土地上一定会硕果累累,桃李芬芳!
附件：学案卷
复习目标：
1．了解分式的概念。
2.会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算。
3.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），体会解方程中的化归思想。
4.通过分析具体问题中的数量关系，能够列出分式方程并会求解，并能有意识地根据所得解在现实世界的实际意义检验结果是否合理，从而建立有效的数学模型。
5.体会类比的思想和符号化的思想（用字母、符号清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。（这是研究分式部分的暗线，此时，应变成明线，这也是《09考试说明》中数学思考和问题解决中的要求）
自主复习（完成试题并画出出关于分式的知识结构图）
一、填空题
1. 函数 中，自变量 的取值范围是 ．（了解分式概念的本质）
2. 当 时，分式 无意义．（了解分式概念的本质）
3. 约分 的结果是 . （会利用分式的基本性质进行约分）
4. 化简 的结果是 .（会进行简单的分式的四则运算）
5. 方程 的解是 ．（会解分式方程及检验）
6.在下列三个不为零的式子 中，任意组成两个分母不同的分式可以是 ，把这两个分式做差所得的结果是 . （会利用分式的基本性质进行和通分）
7.已知 ，则代数式 的值为 （体会化归的思想）
二、选择题
8．若分式 的值为0，则x的值为（ ）（了解分式概念的本质）
A. 1 B. -1 C. ±1 D.2
9．如果把2y2x-3y 中的x、y都扩大5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍 （会用分式的基本性质）
10.计算 的结果为（ ）（会进行简单分式的四则运算）
Ａ． B． Ｃ． Ｄ．
11.计算 的结果为（ ）（会进行简单分式的四则运算）
A． B． C． D．
12，若 则 的值等于（ ）(转化思想的体会)
A． B． C． D． 或
13. 化简 的结果是( ) （会分式的四则运算）
A． B. C. D .
三、解答题
14解分式方程： （会解分式方程）
15.解方程 ．（会解分式方程及无解情况的检验）
16. 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。（体会建模及方程的思想）
17. A玉米试验田是一个边长为a米的正方形减去一个边长为1米的蓄水池余下的部分，B玉米试验田是一个边长为 a-1米的正方形，两块试验田都收获玉米500千克，
（1）哪块试验田的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（体会符号化的思想）
变式练习
1．化简求值：( +2)÷ ，其中 ， .（会进行简单分式的四则运算，积累简化运算的经验）
2．用你发现的规律解答下列问题．
┅┅
(1) 计算 ．
（2）探究 ．（用含有 的式子表示）
（3）若 的值为 ，求 的值．
（体会化归思想和类比思想）.
3. 在解题目：“当 时，求代数式 的值”时，聪聪认为不须代入，因为 取任意一个使原式有意义的值代入结果都有相同的．你认为他说的有理吗？请说明理由．（体会符号化思想）
4．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过点P跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”，根据图文信息，请问哪位同学获胜？（建模及方程的思想的应用）
自测与反思
1. 当x____时，分式31-x 有意义．当x____时，分式31-x 的值为0.（了解分式的意义）
2. 化简 的结果是（ ）（会用分式的基本性质进行简单分式的四则运算）
.
3. 已知 ，则 ．（体会转化的思想）
4.先将 化简，然后请你自选一个合理的 值，求原式的值。（会用分式的基本性质进行简单分式的四则运算）
5..在计算 ，其中 时，小明把
错抄成了 ，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？
（体会符号化的思想）
6. 给定下面一列分式： ，（其中 ）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。（体会类比的思想）
7.在暴雨到来之前，武警某部承担了一段长150米的河堤加固任务，加固40米后，接到上级抗旱防汛指挥部的指示，要求加快施工进度，为此，该部队在保证施工质量的前提下，投入更多的兵力，每天多加固15米，这样一共用了3天完成了任务。问接到指示后，该部队每天加固河堤多少米？（体会建模及方程的思想）
8.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
（体会建模及方程的思想）
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