垂径定理教学设计
教学目标：
1.使学生理解圆的轴对称性
2.掌握垂径定理
3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。 过程与方法
1.通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力
2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。 情感、态度与价值观
通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
教学重点：
垂径定理及应用 教学难点：
垂径定理的理解及其应用 教学用具：圆形纸片，小黑板 教学过程：
一、创设情景：地震造成我们小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是3CM，水面的宽度为6CM，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗？
二、引入新课---揭示课题：
1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形 (2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴 (3)圆的对称轴有无数条(4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。
2、请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；
(2)作直径CD垂直弦AB垂足为E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？导出本节课的课题.
三、讲解新课---探求新知
（1）实验--观察--猜想：
让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE ，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理 （3）对定理的结构进行分析 （4）结合图形用几何语言表述 （5）垂径定理的变式
四、定理的应用：
例1：（2008哈尔滨中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交
⊙O于点C，且CD=1,则弦AB的长是___________ 练习1：（08年福州中考）如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于C，若AB=8cm，OC=3cm，则圆O的半径长为多少？
精讲点拨：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,半径r、弦半a/
2、弦心距d,三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量
例2：如图，两个圆都以点O为圆心，求证AC=BD 练习2：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证四边形ADOE是正方形.
五、小结与反思：
你学习了哪些内容？ 你有哪些收获？ 你掌握了哪些思想方法？ 你还有什么问题 ？
六、课后拓展:
1、（09年模拟）如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，则MN= ————．
2、你能帮工人师傅解决水管替换问题了吗？
3、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，AB和CD的距离为 ．
七、布置作业：
习题，1，９
八、教学反思：
CD=16，则
垂径定理》教学设计
一．
教学任务及对象分析：
1. 教材分析：
本节是鲁教版九年级下册第五章第三节的内容，研究的是圆的一个重要定理———垂径定理，它探究的是垂直于弦的直径与弦以及弦所对的两条弧之间的关系，是以后在证明圆中线段相等，角相等，弧相等，以及直径与弦垂直有关问题的重要依据，也是在圆中进行有关计算的重要依据，所以本节课的内容在本章的学习中有着举足轻重的作用。
2. 学生情况分析：
学生已经学过轴对称的有关知识，有能力通过轴对称来探索垂径定理；
学生也学过全等三角形以及等腰三角形的有关知识，所以容易将垂径定理的推理过程表达清楚。并且在平时的学习过程中，学生已经掌握探究图形性质的手段和方法，具备几何定理的分析，探索和证明的能力。
二．
教学目标分析：
1.
知识与技能：探索并证明垂径定理；
会运用垂径定理进行有关证明和计算
2.
过程与方法：学生通过动手操作，认真观察，培养学生分析问题和解决问题的能力；
通过垂径定理的探索和证明发展学生的推理能力。
3.
情感态度与价值观：在教学过程中，培养学生的合作精神，严谨的学习态度，并对学生进行爱国教育，增强民族自豪感。
三．
教学重难点分析：
教学重点：垂径定理以及推论的探索与证明，利用垂径定理以及推论解决有关问题。
教学难点：证明垂径定理与推论的推理过程。
四．
教学策略：直观演示，引导发现，合作学习
五．
教学设计：
第一环节：情境导入，激疑引趣：
出示赵州桥图片：
它的桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高为7.2m，求桥拱所在圆的半径？
学生活动：思考1分钟，小组成员交流一下经验。
教师活动：学习完本节课的内容，这个问题就很容易解决。
设计意图：1.对学生进行传统文化教育，产生民族自豪感。
2.引出本节课的学习内容，让学生感受生活中处处有数学，数学来源于生活，又服务于生活。
第二环节：尝试诱导，发现定理：
1.定理的引出：
教师活动：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M
（1）
此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）
你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
拿出你做好的纸片，折一折，你会有什么发现？
学生活动：小组活动，折叠手中的纸片，观察图中的等量关系。
设计意图：学生通过亲自动手操作，直观的得出结论，便于理解。
教师活动：同学们根据刚才的发现，将下面这句话补充完整：
_________弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。
学生活动：思考一分钟，找学生回答。
教师活动：这就是圆的一个重要性质-------垂径定理，请同学们理解这一定理，并回答以下问题：
1．
把这一定理改写成“如果„„，那么„„”的形式，应怎样表述？
2．
条件中的弦，可以是直径吗？
3．
结论中的“平分弧”是指哪条弧？
4．
你能用数学语言来描述垂径定理吗？
学生活动：先独立思考3分钟，再在小组中交流，最后在班级展示。
设计意图：目的是提高学生的数学理解能力。
教师活动：垂径定理也能够运用数学推理进行证明，请同学们对照上图，写出“已知，求证”并进行证明。
学生活动：在导学案上完成上题。
教师活动：请同学们阅读课本第14页定理的证明部分，对照你的证明过程，看方法是否相同，你的证明过程是否合理？有什么不足？
学生活动：对照课本，研究自己的解题过程存在的不足，然后小组合作，互帮互助，解决疑难。
2.推论的引出：
教师活动：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M，回答下列问题：
1.
此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
2.
在上图中，你能发现哪些等量关系，和位置关系？说一说理由。
预设：学生可以通过折叠来发现，也可以用数学推理来证明，只要合理，都可以。
3.
题目中，为什么要强调“AB不是直径”，若AB是直径不能得出第1,2题的结论吗？请画图分析。
学生活动：引导学生画出下图，分析“AB不是直径”的原因。
4.
同学们能试着将以上的发现用语言描述出来吗？
学生活动：先思考一分钟，然后找学生在班级进行展示。
设计意图：培养学生的观察能力，数学理解能力以及严谨的学习态度。
第三环节：例题示范，变式练习
教师活动：请同学们阅读课本例题，并且回答在解题过程中使用了哪些解题方法？
学生活动：看例题，总结题目中用到的解题方法，组内交流。
设计意图：培养学生的自学能力，观察能力，引出在垂径定理的应用中，经常会使用列方程的方法。
变式练习教师活动：1.你还记得我们提出的赵州桥有关的问题，试一试，你是否可以解决了？
学生活动：在导学案上完成此问题。
设计意图：让学生体会将数学运用于生活的喜悦，呼应上课开始提出的问题。
2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值。
4.
如图，两个圆都以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
设计意图：对垂径定理的基本应用，培养学生的数学运用
拓展提高：如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹得两条弧相等吗？为什么？
设计意图：为学有余力的学生准备的题目，感受分类讨论的数学思想。
课堂反馈：
1.
谈体会：通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？
2.
小测验：已知AB是圆O的弦，半径OA=20cm,∠AOB=120°，求△AOB的面积
布置作业：
必做题：课本第16页习题5.4第1题
选做题：根据垂径定理的内容，交换条件和结论的位置，你还能写出几个正确的命题吗？
板书设计：
垂径定理
1._________弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。
∵CD为直径，CD⊥AB
∴AM=BM,弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
2.平分弦（不是直径）的直径____于弦，并且平分弦所对的_________。
自我评价：
在教学方法与教材处理方面, 根据现在的教材特点,教学内容以及在新课标理念的指导下,最后决定让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用多媒体，提高教学效率.在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，培养学生直觉思维能力,结合学生实际情况作适当的拓广。
本节课的不足我认为还是时间设计不太合理，时间紧，任务重，整节课感觉没有喘息的机会，学生过于疲劳，所以在以后的教学中，在时间搭配上多下功夫，争取使学生在轻松愉快的氛围中接受知识。
垂径定理教学设计
《垂径定理》教学设计
教学目标：
知识与能力
1.使学生理解圆的轴对称性 2.掌握垂径定理 3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。
过程与方法
1.通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。 情感、态度与价值观
通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
教学重点：
垂径定理及应用 教学难点：
垂径定理的理解及其应用 教学用具：圆形纸片，小黑板 教学过程：
一、创设情景：地震造成我们小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是3CM，水面的宽度为6CM，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗？
二、引入新课---揭示课题：
1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形 (2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴 (3)圆的对称轴有无数条(4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。
2、再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；
(2)作直径CD垂直弦AB垂足为E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？导出本节课的课题，教师板书课题 24.1.2 垂直于弦的直径。
三、讲解新课---探求新知
（1）实验--观察--猜想：
让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE ，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理 （3）对定理的结构进行分析 4）结合图形用几何语言表述 （5）垂径定理的变式
四、定理的应用：
例1：（2008哈尔滨中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交
⊙O于点C，且CD=1,则弦AB的长是___________ 练习1：（08年福州中考）如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于C，若AB=8cm，OC=3cm，则圆O的半径长为多少？
归纳：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,半径r、弦半a/
2、弦心距d,三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量
例2：如图，两个圆都以点O为圆心，求证AC=BD 练习2：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证四边形ADOE是正方形.
五、小结与反思：
你学习了哪些内容？ 你有哪些收获？ 你掌握了哪些思想方法？ 你还有什么问题 ？
六、课后拓展:
1、（09年模拟）如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，则MN= ————．
2、你能帮工人师傅解决水管替换问题了吗？
3、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
七、布置作业：
习题
24、1，1，９
八、教学反思：
“垂直于弦的直径”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点，由于垂径定理的题设和结论都较复杂，因此，理解和证明定理是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课。
这次数学教师过关课教学活动中,我获益良多主要体现在以下几个方面:
(1)在数学教学中，一些结论的表述是很重要的,而我在这节课上有些表述确实不是很正确；
而且我在课堂上,尤其是知识点的联系方面的引导词,更加需要再努力钻研。今后我将在这方面下工夫,在去听其他数学老师的课时,要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句. (2)一些该让学生知道的知识点,讲得不够透彻.如CD是直径,其实应该可以拓展为过圆心的直线; 不能够用数量关系求的,应该要适当地引导学生设未知数.而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数.同样在已知一条边,不够条件求解时,也要引导学生利用未知数来解题的这种题目,引导得不够,或者说引导得不够深刻,学生就会觉得是老师直接将知识倒向他,而他不一定能接受.
(3)在学案设计方面,在时间上把握得不够准确,设计的学案内容太多,在这节课上如果估计过量已经足够的话,垂径定理的推论其实可以放在下节课.这样就不会使得后面讲推论的时间太短,太仓促.前面在复习的部分应该加些关于勾股定理的计算的题目,使学生在后面解直角三角形时能够更加快,更熟练;而在多媒体中练习题量太小,而且是题型太单一,可以再多做些找相等的量的基础训练。
(4) 其实这节课还有个作图思想要灌输给学生,即教学生如果见到弦心距,弦,那么直接连半径构成直角三角形;如果就是只知道一条弦的题目,就要连弦心距都要作出来,而这两种题目我的训练都不到位.
(5)还有其他很多问题: 例题的讲解不够详细,深刻.给学生思考的时间不够; 题目的梯度设计得不是很好„„
通过反思这一课的课堂教学，我发现大部分学生对知识的理解不够，不能灵活应用知识于实际生活（求赵州桥主桥拱的半径）。对这一课进行全面反思后，我认识到要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题。不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力和创新精神，使每个学生的身心都能得到充分的发展。这些失误给了我一个今后的努力的方向.在今后的学习中,我会更加努力,改正自己的缺点,努力钻研教材。
《垂直于弦的直径》的教学反思
垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中九年级人教版第二十四章第2节内容，它是圆中有关计算方面比较重要的一节。
本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：
（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。（学生 很感兴趣，有些同学折的 是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。
）
（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。
（3）让学生在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，问学生会发现什么结论？（平分弦，也平分弦所对的两条弧）
（4）问学生在什么样条件下得出这些结论的？
（5）最后引导学生归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。
通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新的能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是在这节课中我感觉最成功的地方。
当然，整节课也有许多不足之处。例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在：
（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。比如：已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。
（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。
（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。
总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。
垂直教学设计
垂直与平行教学设计
平行于垂直教学设计
幽径悲剧教学设计
正弦定理教学设计