不定积分解题方法总结
摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分 重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循” 。本文
论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。
关键词：不定积分；总结；解题方法
不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总 结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。
1?利用基本公式。(这就不多说了 ~)
第一类换元法。(凑微分) 设f(卩)具有原函数F(卩)。贝U
f[ (x)] '(x)dx 二 f[ :(x)]d (x) = F[ ：(x)] C
其中(x)可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例2:
[解]ln(x 1) -In x
x(x 1)dx1 1 (ln(x 1) - In x)'x +1 x1x(x 1)ln( x 亠 1)-1 nx 1 2
[解]
ln(x 1) -In x
x(x 1)
dx
1 1 (ln(x 1) - In x)'
x +1 x
1
x(x 1)
ln( x 亠 1)-1 nx 1 2
dx - - (ln( x 1) - In x)d (ln( x 1) - In x) (ln( x 1) - In x) C x(x 1) 2
1 I n x , 例 2: 2dx
'(xln x)
【解](xlnx)' = 1 Inx
1 I n x , dxl n x
x(x 1)2 x 一 (xln x)2
1
xln x
3.第二类换元法:
设x「：(t)是单调、可导的函数，并且 「'(t)=0又设f[ (t)] '(t)具有原函数,
则有换元公式
.f (x)dx = . f[ (t)] '(t)dt
常见的变换形式需要熟记会第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
用。主要有以下几种：
常见的变换形式需要熟记会
、a2 —x2
、a2 —x2： x 二asint；
.. x2 a2: x = ata nt；
.. x
2 -a2: x 二asect;
x = a cost
x = a csct;
x = asht
x 二 acht
^ax +b
^ax +b：Tax +b =t
=taxcx
=t
ax
cx
1x 也奏效。
t
1
x 也奏效。
t
(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。
⑹当被积函数含有x ‘m'ax2 +bx + c,
有时倒代换
sin xdx： = <x2 t sin tdt = _ gt cost - costdt)
=-2t cost 2sint C
=-2t cost 2sint C =「2.x
cos x 2sin x C
但当根号内出现高次幕时可能保留根号,
但当根号内出现高次幕时可能保留根号,
dx 1 . x t \o "Current Document" 12 ~ t
dx 1 .
x t
\o "Current Document" 12 ~ t J
\o "Current Document" x\x - 1 L
t6
-]1 . ' dt
t，j _t12
「6 二 _t
-1 arcs in x c
6
t「1
■ <At
—dt
12
1 —dt6
12
(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用
t代去根号。
sin xd>t = x2 t sin tdt = - gt cost - costdt)
sin xd>t = x2 t sin tdt = - gt cost - costdt)
二-2t cost 2sint C = -2 x cos x 2sin x C
但当根号内出现高次幕时可能保留根号,
X,x
X,x12 "X 下 t
X,x
X,x12 "X 下 t
dxt6 dtJ -t121 —dt612t12 _1 —t5—
dx
t6
dt
J -t12
1 —dt6
12
t12 _1 —t5—dt
J -t12
Ot
< t2丿
1
八 ? _1 _t
1 arcs in :
6
4.分部积分法.
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成
不定积分。具体选取 人、时，通常基于以下两点考虑:
（1） 降低多项式部分的系数
（2） 简化被积函数的类型
举两个例子吧~！
例3:
3
x arccosx , dx
■J -x2
观察被积函数，选取变换t =arccosx，则
3
x arccosx, dx =
J -x2
3 t
cos t(_sin t)dt - -1cos3 tdt = sint
t(sin 2t -1)d sin t = td(1 sin3t—sint) = ' '3
1 3 1 3
t sin —tsin t - ( sin t—sin t)dt =
3 ' 3
1 3 1 2
tsin -tsin t ( sin t-1)dcost =
3
2
3
1 3 2 1 3 tsin3-tsin t cost cos31 C =
3 3 9
1 3
--x
9
3
2 1
x (x 2)1—x arccosx C
3 3
例4：
arcs in2 xdx
［解］
arcsin2 xdx = xs in2 x -
1
x2 arcs in x dx
彳 2
1 一 X
xarcsinx 2arcsinxd- x2 l
xarcs inx 2 1 - x2 arcsinx — [Jl_x2 2 dx =
? 2
xarcs in x 2 1-x arcs in x-2x C
上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。
在"d、..中，」、、?.的选取有下面简单的规律：
」=Pm(x)，、=eax,s in ax, cos ax
?i =1 n x, arcta nx,arcsi n x，二 Pm(x)
J 二 eax，二 cos : x, sin x
(3)会出现循环，注意 J 选取的函数不能改变。
将以上规律化成一个图就是：
(lnx arcsinx)
Pm(x
\
(aAx sinx)
V
但是，当nx，、?.二arcsinx时，是无法求解的对于(3)情况，有两个通用公式:
ax
I1e
I1
eaxs in bx
dx = —2 2 (asin bx-bcosbx) C
a b
ax
ax e
l2 = e cosbx dx = — 2(acosbx bsinbx) C
a +b
(分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到 分部积分)
5不定积分中三角函数的处理
1?分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。
1
被积函数 ——2 2—dx上下同乘sin x变形为
L sin x + cos x
’ 1 , ’ cos xd (cos x )
dx =
sin x cos x 1 - cos x 1 cos x
令u = cos x，则为
udu1 -u2
udu
1 -u2 1 u
(21 u2
E)dU
1 1 , 1 cos x
TOC \o "1-5" \h \z In c
21 cos x 4 1 - cos x
2 x 1 2 x
In tan sec c
2 4 2
2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系， 注意sin 2 x cos2x二1的使
sin x
sin x cos x , dx sin x cos x
1
in x - cos x
2 _
sin x cos x - 1 ,
dx
sin x cos x
f dx 〕
血 sin( x + 兀 / 4)
jr + —1 1
jr + —
=-(sin x - cos x ) — —= In tan
2 2佢
三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难, 适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。
函数的降次
形如sin m x cosn xdx的积分（m，n为非负整数）
当m为奇数时，可令u二cos x，于是
m_J
sin m x cosn xdx 二-sin mJ x cosn xd cos x 二一 1「u2 2 undu，
转化为多项式的积分
当n为奇数时，可令u二sin x，于是
u _A
尸?m n. 「?m nd. ? 十 m^ 2 \~r~ .
sin x cos xdx = sin x cos xd sin x = u 1 - u 2 du，
同样转化为多项式的积分。
当m, n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
1
s i nx c o sx = s i n2x,
2
.2 1 - c o s2x
s i n x ,
2
2 1 c o s2x
c o s x ,
2
不断降低被积函数的幕次，直至化为前两种情形之一为止。
形如.tan n xdx和.cot n xdx的积分（n为正整数）
2
2 ,从而
2
2 n
x )
2
2 ,从而
2
2 n
x )
du有理函数器先化为多项式和真分式需之和，再把鴿分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现Indx
du
有理函数器先化为多项式和真分式
需之和，再把鴿分解为若干
个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现
In
dx
> / 2
(a
令 u = tan xdx，则 x = arctan u , dx
tan n xdx u 2 du,
' '1 + u
已转化成有理函数的积分。
类似地，.cot n xdx可通过代换u = cot x转为成有理函数的积分
形如 secn xdx和cscm xdx的积分（n为正整数）
pl..
当n为偶数时，若令u = tan x，则x = arctan u, dx ——2，于是
1 + u
n n I n
secn xdx 二 1 tan 2 x 空dx 二 1 u2 至 一du 二 1 u2 至 du
? 1 + u2
已转化成多项式的积分。
类似地，.cscn xdx可通过代换u = cot x转化成有理函数的积分。
当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。
4?当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。
TOC \o "1-5" \h \z 2 , 1 - cos 2x 1 2 1 小，
x sin xdx = x dx x x cos 2xdx
J J 2 4 2 J
1 2 1 1 2 1 1 .
x xd sin 2x x x sin 2x sin 2xdx
4 4 4 4 4
1 2 1 1
=一 x x sin 2x cos 2x c
4 4 8
5.几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
时，记得用递推公式：
In「2a2(n-1)(x2 a2)n，2a2(门-1)山)
e 1)
e 1)2
e 1)
e 1)2
1.有理真分式化为部分分式之和求解
①简单的有理真分式的拆分
In
x
—hn
1 +x4
+ c
4
x 1 x4
dx
②注意分子和分母在形式上的联系
x6dx
dx
x 3 x7 x7 3
dt
Hrdt
In x7 - ln 3 x7
lnt ln3 t ,
此类题目一般还有另外一种题型:
x2 2x 5
dx =
2x 2
2 x2 2x 5
dx
1
ln X2 2x
2.注意分母（分子）
有理化的使用
dx
2x 3 一 2x
—2x 32 - — 2x 32 c
12 12
例5:
X6 3U
x (x +1)
? 2x 3 2x - 1
［解］
x6 x4 -4x2 -2 x6 x4 4x2 2 x3(x2 1)2 - X3(x2 1)2 X3(x2 1)2
x 4x2 2
2 3 2 2
x 1 x (x 1)
x 1 2
二 dx ln(x 1) C x2 1
4x2
3 2 2 dx = 4
x3(x2 1)2 x4(x2 1)
4x2 2
2
.「2x2+1
xdx 二 42 2
' x4(x2+1)2
dx2」=x2
故不定积分求得
1
（「1）2」2屮
y2 d
1
x2(x2 1)
_ 3
_ 3y3
三角函数有理式的积分
C丄 x
2ta n —
sin x = —
万能公式:1 +ta n2-
万能公式:
2
1 —ta n —
2
TOC \o "1-5" \h \z cos x = -
I 1+ta n2°
I 2
P(sin x, cosx)dx可用变换t = ta nX化为有理函数的积分，但由于计算较烦,
Q(sin x, cos x) 2
应尽量避免。
对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成 或■cosx。再用待定系数
cosx sin x
A(a cosx bsin x) B(a cos'x bsin' x) 一
来做。(注：没举例题并不代表不重要~)
a cosx bsin x
简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现 和.1 x时，可令x = tan2t；同时
出现x和.1-x时，可令x=sin2t；同时出现.1-x2和 arcsinx 时，可令 x=sint；
同时出现1-x2和arccosx时，可令x=cost等等。
善于利用ex，因为其求导后不变
J /(x +
J /(x +1)dx
exx 1 xex
xex11 xex
d xex
1二
1
二 xex dt
t 1 t
=In c
1 +t
=lnxe
=ln
xex
1 xex
这道题目中首先会注意到xex，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导
后为ex xex与分母差ex，另外因为ex求导后不变，所以容易想到分子分母同
乘以ex
某些题正的不行倒着来
sin 2 xIn sin x dxsin x 『In u
sin 2 x
du1 1『 一子u Inu
du
1 1『 一子
u In
u du
二 In ud、u2 - 1
=.『_11 n u _
4du
u
.u2 一 1u=tan2原式-sin xd cotx -
.u2 一 1
u
=tan2
原式
-sin xd cot
x - - cot x In sin x cot xd In sin x
-cot
In
sin
-cot
In
sin
cos x cos x , dx sin x sin x
cot2 xdx
-cot
In
sin
一 cot x - x c
tan y ,
-duu = sec y sec y tan ydy
secy
ydy tan y - y c
In x 2x In x 1 -
In x 2
x In x 1 - 2x In 2 x
注意到：
1 — 6t 2d -2t 3et
yi
y2
y3
t -2t3et t — 2:3』 t - 2t3et
1 - 2t 2et t 1 - 2 3
这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用 u = sin x，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来” ，当
1
u = sin x这类一般的换元法行不通时尝试下 sin x。这种思路类似于证明
u
题中的反证法。
（6）注意复杂部分求导后的导数
dxt = I n x dt
t 1 - 2t 2d
t 2
t 1 * =y1-y2
dtt + 2 应 1 _ 6t 2ef _ 2t 3e' t -2t3e' o 1 _ 2t 2ef
dt
厂l dt 沖 dt y-rdt - 3 厂
t 1 一 2t 2d t - 2t 3et t - 2t 3et t 1 一 2t 2e
=I nt - 2t 3et -1 - 3 l nt c
=In (n x - 2Qn x jeln x )— In x — 31n In x + c
本题把被积函数拆为三部分：yi,y2,y3, y的分子为分母的导数， y的值为1, y3的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛 中出现。
（7）对于.R（x, .ax2 - bx - c）dx（a飞0）型积分，考虑厶二b2 一 4ac的符号来 确定取不同的变换。
如果=0，设方程ax2 bx c = 0两个实根为二，：，令
ax2 bx c 二 t x -「，
可使上述积分有理化。
如果二:0，则方程ax2 bx ? c = 0没有实根，令
ax2 bx c 二 ax _t ，
可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设
ax2 bx c 二 xt 二 2，
至于采用哪种替换，具体问题具体分析