余弦定理证明
在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²
b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB
b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²
b²=c²+a²-2ac*cosB
所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac
2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
怎么证明余弦定理
证明余弦定理：
因为过C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。
又因为b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，
所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，
所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，
所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，
所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²
b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB
b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²
b²=c²+a²-2ac*cosB
所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac
2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
余弦定理证明过程
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²
b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB
b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²
b²=c²+a²-2ac*cosB
所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac
2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
余弦定理及其证明
1.三角形的正弦定理证明：
步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
2.三角形的余弦定理证明：
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^
2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^
2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因为cosC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
题目中^2表示平方。
2谈正、余弦定理的多种证法
聊城二中魏清泉
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则
(1)(正弦定理)==;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcosC,
b2=a2+c2-2accosB,
a2=b2+c2-2bccosA.
一、正弦定理的证明
证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有
AD=b•sin∠BCA，
BE=c•sin∠CAB，
CF=a•sin∠ABC。
所以S△ABC=a•b•csin∠BCA
=b•c•sin∠CAB
=c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有
AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，
BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。
证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆
的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。
因为AB=AC+CB，
所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，
j•CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，
j•AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.
二、余弦定理的证明
法一：在△ABC中，已知，求c。
过A作，
在Rt中，，
法二：
，即：
法三：
先证明如下等式：
⑴
证明：
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、有
即.同理可证
.
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：
=(-acosB,asinB)，
=-=(bcosA-c,bsinA),
(1)由=：得
asinB=bsinA,即
=.
同理可得：=.
∴==.
(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccosA.
同理：
c2=a2+b2-2abcosC;
b2=a2+c2-2accosB.
法二：如图5，
,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知
，
即
将(1)式改写为
化简得b2-a2-c2=-2accosB.
即b2=a2+c2-2accosB.(4)
高中数学正余弦定理教案模板
余额证明
定理证明
勾股定理证明
高斯定理证明