正弦定理教学设计

《正弦定理》教学设计

教学目标：

1、理解并掌握正弦定理，总结归纳用正弦定理解三角形问题的步骤。

2、探究证明定理的方法，理解正弦定理是对任意三角形中“大边对大角、小边对小角”的量化研究，从中体会知识的发生发展过程。

3、在探究及其证明的过程中，培养学生发现问题、解决问题的能力，初步感知数学中由定性到定量的思维方法。

教学任务分析：

正余弦定理作为解三角形的基础，重要性不言而喻。一方面它们可以合力解决数学中的大量问题；
另一方面，它们在实践中也发挥着重大作用，比如距离、高度、速度等的测量。这节课是正弦定理的第一节课，需要先证明正弦定理和明确正弦定理可以解决哪些三角形问题。正弦定理的证明方法有很多，比如平面几何法和向量法，也是简单的方法，可是它们都无法轻易得出比值是2R这一结论，因而我在教学中采用外接圆的方法，将三角形内角转化成直角三角形中的锐角，再利用锐角三角函数得出定理，过程稍稍复杂，可对于提高学生分析问题、解决问题的能力还是有帮助的。这节课还会通过练习让学生总结归纳正弦定理解三角形的类型和方法。综上，我将本节课的教学重点定为：正弦定理的证明及其使用。

学生情况分析：

一方面，正弦定理和余弦定理作为解三角形的理论基础，它们形式简洁漂亮，学生易于接受。在探究证明方法时，学生也具备一定的分析问题的能力，也储备了一些知识，比如初中时平面几何中的知识和已经学习过的三角函数的知识，他们也知道也将问题做类比和转化，这些无疑都是有利的。可是，另一方面，高一的学生在综合应用所学知识上还有欠缺，思维也不够缜密，比如这节课从直角三角形中得到边角关系后，接下来要证明在任意三角形中也成立，学生可能束手无策，不知道将问题引向何处，这时就需要教师的引导。另外，现在很多学生运算能力相对薄弱，也会导致用正弦定理解三角形时漏解或多解情况的出现。总之，我认为学好正余弦定理也是将学生的思维水平和运算能力提高的一个好机会。综上，我将本节课的教学难点定为：

1、探究定理证明的方法，比值等于2R的由来。

2、由正弦函数在区间上的单调性分析正弦

3、应用正弦定理解决第二类问题时，可能教学工具：多媒体课件。 教学过程：

一、创设问题情境，引入新课 问题1：初 问题2：对对小角”仅是的知识得到这

中时你学过哪些关于三角形边角关系的结论？ 于任意三角形中的边角关系“大边对大角、小边一种感性认识，或者说定性分析，能否利用所学个边角关系准确的量化表示？如右图。

定理是一种定量的研究。

碰见多解的情况。

设计意图：
对于问题1，学生可以提供多种答案，教师可以往任意三角形这个方向引导，问题2则开门见山奔向这节课的主题。

二、正弦定理的证明及其应用

（一）定理的证明

对于边角关系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的边角关系，我们先得到直角三角形中的结论，然后看能否推广到一般三角形中。

如右图，，

因而，

由于C=900，sinC=1 所以可得

问题3：这是一个连比的式子，三者的比值相等，那么这个比值具体应该是多少呢？

分析：比值等于,联想到直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，即斜边是外接圆的直径，用2R表示。

由此得到 设计意图：这个问题的解答很关键，起到承上启下的作用。接下来，只需探讨该结论是否适合一般三角形，而2R是三角形外接圆的直径，就会自然而然将学生引向利用外接圆研究一般三角形中的边角关系。

以下是锐角三角形和钝角三角形中该结论的证明：

若△ABC是锐角三角形，则外接圆圆心在该三角形内部。连外接圆的一条直径BD,则

所以

因而

所以

在与学生共同探究的过程中，可以设置下面的问题：

（1）受直角三角形的启发，应该会用到锐角三角函数，所以一定要构造直角三角形，在外接圆已经做出的情况下，如何去构造直角三角形？

（2）如何转化角？即为什么若△ABC是钝角三角形，则外接圆圆心在三角形外部。

连直径BD,则可得

（想一想，为什么？）

？

在Rt△BCD中，又A=1800-D

所以sinA=sin(1800-D)=

即

得出与锐角三角形中相同

因而在钝角△ABC中，仍然成立。

综上，在任意△ABC中，都成立，即各边与其所对角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圆的直径，由于该式涉及角的正弦，即称作正弦定理。

问题3：如何说明正弦定理是对任意三角形中边角关系的一种量化表示？ 分析：我们不妨反过来解释为什么“大角对大边，小角对小边”，即弦定理可知

，只需说明

即可。

。由正（1）若A、B都是锐角，，则。

（2）若A是钝角，B是锐角，由A+B

，得B

-A，又因设计意图：此问题是本节课的难点之一，很多同学会使用正弦定理，但是对于定理是刻画任意三角形边角关系这一意义含糊不清。在这会用到析，尤其是对于第二种情况，值得同学思考。

定理的变式：
（1）

(边化角)

在上的单调性进行分（2）（3）

（角化边）

（4）

（二）正弦定理的应用 解三角形：

称为三角形的元素，已知某些元素求其他元素的过程。

例1：△ABC中，已知=20，A=300，C=450，解此三角形。

分析：这属于已知两边一角，求其余的一角两边的问题。

例2：△ABC中，已知

，=1，B=450，解此三角形。

分析：这属于已知两边及其一边的对角，求其余两角一边的问题。

问题4：对于例2，思考，为什么例1只有一解而例2有可能多解？

，可能出现两解，如何取舍？进一步设计意图：用正弦定理的时候很容易出错的就是多解的情形，通过此例让学生探索取舍的办法。已知两角一边实质上该三角形就是确定的，而两边及其一边的对角时这样的三角形并不唯一。如果在课堂上可以顺利得出这样的结论，那学生会有茅塞顿开的感觉，势必会加强学习数学的兴趣和自信。

练习：已知在△ABC中，A=450，=2，

，解此三角形。

问题5：通过以上例题和练习，总结归纳正弦定理可以解决怎样的三角形问题，归纳出步骤。

设计意图：这是本节课的收尾问题，由学生自己总结归纳。正弦定理应该是知三求三的过程，需要知道三个独立的条件，这点需要学生明白。

三、课堂小结

1、本节课的重要内容——正弦定理，是任意三角形中边角关系的准确量化。

2、本节课的思想方法：证明正弦定理时，先从直角三角形中得到结论，然后推广到一般三角形中，这种从特殊到一般的研究方法是数学中常用的思想方法。另外，还有类比、转化、归纳等方法。

四、教后心得

本节课是我刚上完的课，感触很深。证明正弦定理的方法很多，有比这种外接圆的方法简单的证明方法，比如向量法和课本上通过高的方法，但是唯有这种方法能够比较简单的得到比值是2R这样的结论，当然中间的过程也不算简单，要构造直角三角形，要将角转化，可是这些对于学生思维水平的提高还是很有帮助的，也能使得学生更加清楚数学知识发生发展的过程，将未知问题转化为自己可以动手操作的问题，我认为这一点意义还是很大。还有对于多解的情况，我希望学生可以借助内角和和大边对大角来判断，并没有加大这一点的难度。当然对于这节课的教法也希望得到更多老师、专家的指导。

板书设计：
1.正弦定理的证明

直角三角形

锐角三角形

钝角三角形 2.变式 3.例题、练习

《正弦定理》教学设计

郭来华

一、教学内容分析

“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学生学习情况分析

学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

三、设计思想

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标

1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。

3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

五、教学重点与难点

重点：正弦定理的发现和推导 难点：正弦定理的推导

六、教学过程设计

（一）设置情境

利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽d1km。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度v15km/h，水流速度v13km/h。

【设计意图】培养学生的“数学起源于生活，运用于

（二）提出问题

师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

1、船应开往B处还是C处？

2、船从A开到B、C分别需要多少时间？

3、船从A到B、C的距离分别是多少？

4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；
问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；
问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。

师：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题1，需要解决问题2，要解决问题2，需要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问

A图 1BC生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。

题4，问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生1：船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角：

|v||v1||v2||v1||v2|35, 22BDEC534，

22v1vFAv2图 2sin 用计算器可求得37

BDv1vv2AF图 3EC船从A开往C的情况如图3，|AD||v1|5，|DE||AF||v2|3，易求得AEDEAF45，还需求DAE及v，我还不知道怎样解这两个问题。

师：请大家思考，这两个问题的数学实质是什么？ 部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？ 生3：不知道。

师：图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？

生4：图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中ADE是直角三角形，而图3中ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。

师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？

【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。

生5：能，过点D作DGAE于点G（如图4），

|DG||v1|sinDAG|DE|sinAED|AG||v1|cosDAGBDv1vAGv2EC

，|EG||DE|cosAED

F图 4sinDAG|DE|sinAED|v1|3sin4553210

|v||AG||GE|

师：很好！采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？

【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的共同成长。

（三）解决问题

1、正弦定理的引入

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。

师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同研究。

（1）学生以小组为单位进行研究；
教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。

（2）展示学生研究的结果。

【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；
同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。

师：请说出你研究的结论？ 生7：asinAbsinBcsinC

师：你是怎样想出来的？

生7：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边c。

师：有没有其它的研究结论？（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。）

师：asinAbsinBcsinC对一般三角形是否成立呢？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。那么生9：成立。

师：对任意三角形

asinAbsinBcsinCasinAbsinBcsinC对等边三角形是否成立呢？

是否成立，现在让我们借助于《几何画板》做一个数学实验，„„

【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。

2、正弦定理的探究 （1）实验探究正弦定理

师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。

结论：asinAbsinBcsinC对于任意三角形都成立。

【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一致。

生10：（通过计算）与生5的结果相同。

师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简单多了。

【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。

（2）点明课题：正弦定理 （3）正弦定理的理论探究

师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。

探究方案：

直角三角形——已验证；

锐角三角形——课堂探究；

钝角三角形——课后证明。

【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。

师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？

生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的办法一样，如图5作BC边上的高AD，则ADcsinBbsinC，所以

bsinBcsinCAcabB，同理可得

asinAbsinBCD图 5 锐角三角形

师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意：
csinBbsinC表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！

【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。

师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？ 学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；
②三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：

证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是ABC的三条高。则有

ADbsinACB， BEcsinBACCFasinABCAFcaD图 6 EbCB， 。

bcsinBACc12casinABC12SABCa12absinACBbsinABC

AsinBACsinACB

cB

a证法三：如图7，设BD2r是ABC外接圆的直径，则BAD90，ACBADB

BD2r

sinADBab2r同理可证：sinBACsinABCsinACBasinBACbsinABCcsinACBccb

D

C图 7 三角形外接圆

【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式 及asinAbsinBcsinC2r一并牵出，使知识的产生自然合理。

、BC、CA间有什么关系？ 师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？

师：任意ABC中，三个向量AB生12：ABBCCA0

师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由ABBCCA0转化成数量关系？

师：在ABBCCA两边同乘以向量j,有(ABBCCA)j0,这里的向量j可否任意？又如何选择向量j?

生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量j与三个向量中的一个向量（如向量BC）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。

生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题？

教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完成了如下证明。

证法四：如图8，设非零向量j与向量BC垂直。

因为ABBCCA0，

所以(ABBCCA)j0 即ABjCAj0 B|AB||j|cosAB,j|CA||j|cosCA,j0 c|j|cos(90B)b|j|cos(90C)0 c|j|(sinB)b|j|sinC0

AcjbaC图 8 向量所以bsinBcsinC，同理可得

asinAbsinB

师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）

师：ABjCAj0有什么几何意义？

生15：把ABjCAj0移项可得CAjBAj义可知CA与BA在j方向上的投影相等。

，由向量数量积的几何意生16：我还有一种证法

证法五：如图9，作ADBC，则AB与AC在

AD方向上的投影相等,即ABADACAD

|AB||AD|cos(90B)|AC||AD|cos(90C)C

csinBbsin 师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）

AcBDabC图 9 向量故bsinBcsinC，同理可得

asinAbsinB

师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！

【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。

（四）小结

师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。

（五）作业

1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；

2、思考：证法五与证法一有何联系？

3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？

4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。

【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。

七、教学反思

为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修4）》（人教版）第二章习题2.5 B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；
②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。

总之，整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”——“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。

《正弦定理》教学设计

2010级数学课程与教学论专业华娜学号201002101146

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方

法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的

实际应用价值。

三、教学重难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断

解的个数。

四、教法分析

依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程

本节知识教学采用发生型模式：

1、问题情境

有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B

300。求需要建多长的索道？

可将问题数学符号化，抽象成数学图形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

此题可运用做辅助线BC边上的高来间接求解得出。

提问：有没有根据已提供的数据，直接一步就能解出来的方法？

思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢？

2、归纳命题

我们从特殊的三角形

在如图Rt三角形ABC

a



sinA, c

bc

sin

B

.c.

所以，

asinA



bsinB

又sinC1,所以

csinC

asinA



bsinB



.

在直角三角形中，得出这一关系。那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？

3、命题证明

首先考虑锐角三角形，要找到边与角正弦之间的关系，就要找到桥梁，那就是构造出直角三角形——作高线。

A

作AB上的高CD,根据三角函数的定义，

CDasinB,CDbsinA ,

所以，asinBbsinA.同理，在ABC中，

bsinB



csinC

.于是在锐角三角形中，

asinA



bsinB



csinC

也成立。

当ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？

C

DAcB

由学生类比锐角三角形的证明方法，同样可以得出。

于是，从以上的讨论和探究，得出定理：

正弦定理（laws of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinA





siBnb

csCin

分析此关系式的形式和结构，一方面便于学生理解和识记，另一方面，让学生去

感受数学的间接美和对称美。

正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。我们把三角形的三边和三个角叫做三角形的元素，已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

分析正弦定理的应用范围，定理形式可知，如果已知三角形的两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角，都可以解出这个三角形。

4、命题应用

讲解书本上两个例题：

例1 在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精确到10，

边长精确到1cm）。

例1简单，结果为唯一解。

总结：如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。

要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。

接着回到课堂引入未解决的实际问题。

在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

B

A

在已经学习过正弦定理和例1例2的运用之后，此题就显得非常简单。

接着，课堂练习，让学习自己运用正弦定理解题。

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：
（1）A=45°，C=30°，c=10cm （2）A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：
（1）a=20cm，b=11cm，B=30° （2）c=54cm，b=39cm，C=115°

学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

5、形成命题域、命题系

开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。那么正弦定理的证明还有没有其他的证法？学生可以自主思考，也可以合作探究。

学生思考出来就更好，如果没有思考出来，提示两种方法 （1）几何法，作三角形的外接圆；
（2）向量法。

先让学生思考。结束后，重点和学生一起讨论几何法，作外接圆的证法。一方面是让学生体会到证明方法的多样，进行发散性思维，但更主要的是为了得出

asinA



bsinB



csinC

2R。即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的

2C

倍的结

论，让学生能更深刻地理解到这一定理的，也方便以后的解题。而提到的向量法，

则让学生课后自己思考，可以查阅资料证明。

六、课堂小结与反思

这节课我们学到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的适应范围？正弦定理的证明方法？）

1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发，运用分类的方法通过猜想、证明得到了正弦定理

asinA



bsinB



csinC

，它揭示了任意三角形边和其所对的角

的正弦值的关系。

2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中，若已知两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第

二种情况下，运用正弦定理需要考虑多解的情况。

3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通过作外接圆可以得到

asinA



bsinB



csinC

2R.这是对正弦定理的补充。

七、作业布置

教材第10页，习题1.1，A组第一题、第二题。

教学设计

一、内容及其解析

1.内容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

二、目标及其解析

目标：（1）正弦定理的发现；

（2）证明正弦定理的几何法和向量法；

（3）正弦定理的简单应用。

解析：先通过直角三角形找出三边与三角的关系，再依次对锐角三角形与钝角三角形进行探

讨，归纳总结出正弦定理，并能进行简单的应用。

三、教学问题诊断分析

正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

四、教学支持条件分析

学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识和有关任意三角形的一些知识， 学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量），学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型完成教学目标，是切实可行的。

五、教学过程

（一）教学基本流程

（一）创设情境，引出课题

①在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？ 学生容易想到三角函数式子：（可能还有余弦、正

a切的式子） bc sinC1sinAsinBc b c

②这三个式子中都含有哪个边长？

c

学生马上看到，是c边，因为 sinC1B C a c③那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？

abc 

sinAsinBsinC

④得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系？ （各边和它所对角的正弦的比相等） ⑥此关系式能不能推广到任意三角形？

设计意图: 以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展.从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程.（二）探究正弦定理

abc



猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：

sinAsinBsinC

设计意图:鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.

三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式？ 设计意图:及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识

①那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？ ——可以构造直角三角形

②如何构造直角三角形？

——作高线（例如：作CD⊥AB，则出现两个直角三角形）

ab

③将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明，

sinAsinB

那么如何将A、B、a、b联系起来？

——在两个直角三角形Rt△BCD与Rt△ACD中，CD是公共边：
在Rt△BCD中，CD= asinB， 在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab

asinBbsinA

sinAsinBbcsinB sinC？ ——作高线AE⊥BC，同理可证.设计意图:把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.

c

若△ABC为钝角三角形，同理可证明：

sinAsinBsinC

（三）例题分析，加深理解

例题：在△ABC中，已知C＝48.57º ， A＝101.87º ，AC＝2620m，C 求AB.(精确到1米)

解：B＝180º－A－C＝ 180º－ 48.57º －101.87º ＝29.56º0

abc

bc由得cbsinC2620sin48.573982 sinBsinCsinBsin29.560

abc

2R sinAsinBsinC

正弦定理推论（1）a2RsinA， b2RsinB，c2RsinC

abc

B正弦定理推论（2）sinA，sin,sinC

2R2R2R

正弦定理：

解决类型：（1）已知三角形的任意两角与一边，可求出另外一角和两边；

（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可求出另外一边和两角。

（四）目标检测

1．一个三角形的两个内角分别是30和45，如果45角所对的边长为8，那么30角所对边的长是2．在△ABC中，



（１）已知A75，B45，c，则a，b









（２）已知A30，B120，b12，则a，c



3．在△ABC

中，b



cC60,则A ____________ 

4．在△ABC中，b3，

cB30，则a=_____________ 5．在△ABC中，b2asinB，则BC＝________________

（五）小结

(1)在这节课中，学习了哪些知识？

正弦定理及其发现和证明，正弦定理的初步应用

(2)正弦定理如何表述？ abc

sinAsinBsinC

（3）表达式反映了什么？

指出了任意三角形中，各边与对应角的正弦之间的一个关系式

学案

1．1正弦定理

班级姓名学号

一、学习目标

（1）正弦定理的发现；

（2）证明正弦定理的几何法和向量法；

（3）正弦定理的简单应用。

二、问题与例题

问题１：在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？ 问题２：这三个式子中都含有哪个边长？？

问题３：那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？？

问题4：得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系？ 问题5：那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？ 例１.

（三）例题分析，加深理解

例题：在△ABC中，已知C＝48.57º ， A＝101.87º ， CAC＝2620m，求AB.(精确到1米)

三、目标检测

1．一个三角形的两个内角分别是30和45，如果45角所对的边长为8，那么30角所对边的长是2．在△ABC中，



（１）已知A75，B45，c，则a，b









（２）已知A30，B120，b12，则a，c



3．在△ABC

中，b



cC60,则A ____________ 

4．在△ABC中，b3，

cB30，则a=_____________ 5．在△ABC中，b2asinB，则BC＝________________

配餐作业

一、基础题(A组)

1、在△ABC中，若a=，b=，A=300, 则c等于（） A、2B、C、25或D、以上结果都不对 2．在△ABC中，一定成立的等式是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA 3.若

sinAcosBcosC

则△ABC为abc

A．等边三角形C．有一个内角为30°的直角三角形

（）

B．等腰三角形

D．有一个内角为30°的等腰三角形

4.△ABC中,∠A、∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°,a（）A．有一个解B．有两个解C．无解5.在△ABC中，a＝26,b4,那么满足条件的△ABC

D．不能确定

，b＝22，B＝45°，则A等于6.在△ABC中，若c2，C60，a

20

3，则A 3

二、巩固题(B组)

7.在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 8.在锐角△ABC中，已知A2B，则的9.在△ABC中，已知tanA

a

取值范围是． b

1

1，tanB，则其最长边与最短边的比为． 2

310.已知锐角三角形的三边长分别为

2、

3、x，则x的取值范围是．

三、提高题(C组)

11．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b

12△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。

13．为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0.试计算东方明珠塔的高度（精确到1m）.





《正弦定理》教学设计

一、教材分析

1、教学背景

在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；
学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；
许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。“正弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。

2、教材的地位及作用 1.教材结构

《正弦定理》是高中数学必修5第一章第一节的内容。在此之前学生已学习了三角函数、平面向量知识，它起着承前启后的作用，是《三角函数》中有关三角形知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，为以后学习《余弦定理》提供了方法上的模式，是解决实际生活中三角形问题的有力工具之一。正弦定理教学时数的安排为2课时，它涉及定理的推导教学和应用教学两大部分，本节课的内容是定理的推导及定理的简单应用。

2.新旧教材对比

新旧教材中均运用归纳思想，在直角三角形中揭示边角关系并进一步进行探索，证实在斜三角形中此关系也成立；
不同点在于定理的证明新教材多给出了一种向量的证明的方法，这样的设置给学生们眼前一亮的感觉，同时留给学生们更多的对数学知识的相关性更多的思考空间。

3．新高考对解三角形的要求， 将三角形作为几何度量问题来展开。要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，而不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练，为发展数学应用意识，提高实践能力创造条件。

4新课程对解三角形的定位

关注数学应用，倡导“学以致用”重视概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。重视新概念的引入，关注其贴切的背景支撑，和与生活实际密切相关的联系。重视亲身体验数学发现和创造的历程，达到发展创新意识和实践能力的目的。重视能否给学生带来最大的思考空间；
怎样创设问题情境？如何设问？才会有助于学生更好地认识和理解基本概念、掌握基础知识。提倡以学生自主学习为主的合作探究、小组讨论的学习方式。

二、教学目标、重点难点 1.教学目标

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

能力目标：正弦定理是一节在实际生活中受到广泛应用的定理,通过定理的教学,不仅培养学生解三角形的应用能力,更重要的是提高应用所学知识解决实际问题的意识和能力；
同时引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

情感目标：通过感受数学美激发学生热爱科学勇于探索的精神，通过自主学习的发展体验获取知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征、辨证特征、开放特征。

2.教学重、难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明

三、教学方法和教学手段

教学方法：我采用的是引导发现法、探索讨论法等。

1、引导发现法：实际问题。

2、探索讨论法：通过实际问题总结出数学问题，并运用数学知识解决实际问题。 根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点 学法指导

“学即为用，用则要学” 教会学生

指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

教学手段：利用多媒体课件教学，化实践为数学问题，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量。

四、教学程序

教学流程设计：实际应用问题→化为数学问题→特殊情况分析→猜测结果→证明猜想→余弦定理→余弦定理的应用→课堂练习→课堂总结→布置作业

教学程序（师生双边活动） 设计意图 实

图片展示：不可到达的山高或河宽

际 （1）、从学生所关心提出问题：

应 的实际问题引入，使某人站在黄河岸边点B位置，发现对岸A处有一个宣传板，用 学生了解数学来源于请你设计一个方案能够求出A、B两点间的距离？（备用工具：问 实际。

测角仪和皮尺）

题 实

1、化为数学问题 （1）、通过主观能动际 已知三角形的两个角及公共边，求公共边上的高 性，把实际问题转化--- 为数学问题

提出问题。在中， ---- （2）、培养学生从实理 求AB边上的高 际问题抽象出数学模论

2、特出情况分析

回顾直角三角形中的边角关系：

3、猜测结果

型的能力，先探索结论，再找规律，引发学生积极的思维，学生通过不断尝试（不一定一次发现），但这种尝试符合从特殊到一般的认知规律。

1．激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理 2．那结论对任意三角形都适用吗？指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行证明

验证。

猜测、得

3．让学生总结实验结出

果，得出猜想：

正弦

在三角形中，角与所定理

对的边满足关系

总结， [这为下一步证明树1．让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称立信心，不断的使学和谐美，提升对数学美的享受。

生对结论的认识从感2．正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。

性逐步上升到理性。] 3．运用正弦定理求解本节课引入的桥臂长的问题。（让学生逻辑推理，证明猜想 自己参与重大实际工程问题，能激发学生知识后用于实际的价1．强调将猜想转化为值观。） 定理，需要严格的理通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你论证明。

对此有何体会？ 2．鼓励学生通过作高1．用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

转化为熟悉的直角三2．它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

角形进行证明。

3．定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的3．提示学生思考哪些思想。

知识能把长度和三角

函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为工具证明定理。

从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。）

掌握正弦定理的简单应用

允许和鼓励学生提应

问，让学生从“不问”用

到“敢问、善问”是培正 弦

养学习能力的重要一定

环。

理

强化学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度

五 ，作业设计 阅读课本，课本习题，提出自己的问题 六， 设计理念 把“数学发现的权力”还给学生

长期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程.为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在数学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策.数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验.基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单地告诉学生正弦定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理，证明定理.从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.

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