向量数量积教案模板专题参考

第三节 数量积 向量积 混合积

内容分布图示

★ 两向量的数量积

★ 数量积的运算 ★ 例

2★ 例5

★ 例3

★ 例

1★ 例4

★ 引例

★ 向量积的运算

★ 向量积的定义 ★ 例7

★ 例10

★ 混合积的几何意义

★ 例13

★ 例8

★ 例6

★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★ 习题7-3

★ 返回

内容要点：

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、b，它们的夹角为，乘积|a||b|cos称为向量a与b的数量积（或称为内积、点积），记为ab，即

ab|a||b|cos.

根据数量积的定义，可以推得：



（1） ab|b|Prjba|a|Prjab; （2） aa|a|; （3） 设a、b为两非零向量，则 ab的充分必要条件是 ab0.2数量积满足下列运算规律：

（1） 交换律

abba;

（2）分配律

（3）结合律 (ab)cacbc; (ab)(a)ba(b),（为实数）.

二、两向量的向量积

定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：

（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定（图7-3-5）；

（2）c的模 |c||a||b|sin，(其中为a与b的夹角)， 则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为

cab.根据向量积的定义，即可推得

（1）aa0；

（2）设a、b为两非零向量，则 a//b的充分必要条件是 ab0.向量积满足下列运算规律: （1）abba;

（2）分配律 (ab)cacbc;

（3）结合律 (ab)(a)ba(b),（为实数）.

三、向量的混合积 例题选讲：

两向量的数量积

例1 (讲义例1) 已知a{1,1,4},b{1,2,2}, 求 (1) ab;

(2) a与b的夹角; (3) a与b上的投影.

例2 证明向量c与向量(ac)b(bc)a垂直.例3 (讲义例2) 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

例4 (讲义例3) 设a3b与7a5b垂直, a4b与7a2b垂直, 求a与b之间的夹角.例5 (讲义例4) 设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v.设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P (液体的密度为).

两向量的向量积

例6 (讲义例5) 求与a3i2j4k,bij2k都垂直的单位向量.例7 (讲义例6) 在顶点为A(1,1,2),B(5,6,2)和C(1,3,1)的三角形中, 求AC边上的高BD.例8 设向量m,n,p两两垂直, 伏隔右手规则, 且

m4, n2, p3,

计算(mn)p.

例9 (讲义例7) 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.例10 利用向量积证明三角形正弦定理.

向量的混合积

例11 (讲义例8) 已知(ab)c2, 计算[(ab)(bc)](ca).例12 (讲义例9) 已知空间内不在同一平面上的四点

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)

求四面体的体积.例13 已知ai,bj2k,c2i2jk, 求一单位向量, 使c, 且与a,b此同时共面.

课堂练习

1.已知向量a0,b0, 证明

2222|ab||a||b|(ab).

2.已知a,b,c两两垂直, 且|a|1,|b|2,|c|3,求sabc的长度与它和a,b,c的夹角.

向量数量积的运算律

制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8编号：12022 学习目标：

1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；

2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法；

3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.

学习难点：向量数量积分配律的证明.

重点知识回顾：

1、两个向量的夹角的范围是：；

2、向量在轴上的正射影

正射影的数量为；



3、向量的数量积（内积）：a·b=；

4、两个向量的数量积的性质：

（1）ab；

（2）aaa

（3）cos=；

向量数量积的运算律

1（）abba;

(2)(

(3)(aa)ba(b)(ab)ab;b)cacbc

22 平面向量数量积的常用公式

(1)(a

2(2)(ab)(a

证明：（1）

（2）

b)a2abbb)ab22

典例剖析：

例

1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，

求：（1）b在a方向上的投影；

（2）a在b方向上的投影；

（3）a 2ba3b

例0

2、已知a与b的夹角为120，a=2，b=3，求：

22 （）ab；
（2）a

b；
（3）（2a

1（4

5 b）（a3b）

1,a与b夹角为120，问t取何值0

t

例

a

3、已知=3，b=4，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量akb与akb 互相垂直？

变式：已知a=1, b=2, a与ab垂直.求a与b的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.

例

0

4、已知a=2，b=4，a,b120，求a与ab的夹角.

课堂小结：

跟踪练习：

1、下列运算不正确的是（）

A.abcabcB.abcacbc

C.mabmambD.abcabc

2、设e、e，则2e

12是两个单位向量，它们的夹角为6001e23e12e2（

A.99

2B.2C.8D.8

3、已知a7, b7，ab7，则a与b的夹角为（）；

4、已知：向量a与b的夹角为1200，且a4， b2，求：

（1）ab；
（2）3a4b；
（3）aba2b

）

《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学反思

1、本节课先是通过对相关知识的回顾，然后引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。最后通过几个例题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。课堂结构清晰完整流畅。在教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。在与学生的课堂交流中能倾听学生的想法，及时纠正偏差，激发了学生自主探究的欲望，较好的提升了学生的思维能力，对于学生在探究过程中出现的问题都能认真加以点评，适时指出不足与优点，对于学生的发现与总结都能给于很好的评价与赞扬，让学生收到激励，保持学习的热情。

2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理。知识回顾部分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。

3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如

22思考2中：对于上述向量i,j，则i,j,i.j分别等于什么？这样的问法觉的还是太繁琐，是否可以改为计算i2,j2,i.j？这样可能更直接一点。

4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归纳总结。学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该要引导学生分析公式特征及应用的注意点。

5、一节课的知识与技能是否落实，难点是否得到突破，是教学者最为关心的话题。课堂习题正是检验教学效果的工具。在习题设置上，除了覆盖重难点外，还应做到由简入深。同时，在教学过程中，通过旧知生成新知的过程，采用问题串的形式引导学生一步步完成自主探究得到生成，是比较有效的教学方式。

6、通过本次公开订，学到了很多东西，争取下一次做得更好，另外还需改进语言表达能力，希望课堂气氛可愉更加活跃。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标：

1、掌握平面向量数量积的坐标表示方法

2、掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式.

3、能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.

4、培养学生数形结合、转化与化归的数学思想

教学重点：平面向量数量积的坐标表示及运算规律.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义：ababcos,0,

2．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.（1）

ea = ae =|a|cos；

（2） ab  ab = 0 （3） aa = |a|2或|a|aa

（4）cos =

ab ；

|a||b|3．练习：已知|i||j|1，ij，且a3i2j，bij，则ab ；

二、讲解新课：



（一）探究：已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，怎样用a和b的坐标表示ab？.1．平面两向量数量积的坐标表示

设向量i,j分别为平面直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量，则有

ax1iy1j，bx2iy2j

∴ ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2ix1y2ijx2y1ijy1y2j

x1x2y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.课堂练习

①若a(2,3)，则aa ，|a| ；

②若表示向量a的起点和终点的坐标分别为(1,2)和(2,0)，则|a|

；

③若a(1,1)，b(3,3)，则ab

，a与b的夹角是

；

22由上面三题，引导学生由特殊到一般，自己推导公式 2.平面内两点间的距离公式

（1）设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2.（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式) 3． 向量垂直的判定

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab x1x2y1y20

4． 两向量夹角的余弦（0）

abcos =|a||b|

（二）讲解范例：

x1x2y1y2x1y122x2y222

例1 已知a1,3,b 3,1,求ab,a,b及a与b的夹角.例2已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.例

31.若a3,1,bx,3,且ab,求实数x.2.已知a(3,4),b(2,1),(akb)(ab),求k的值.2.法一由题可知解：2222akbabak1abkb0,再分别算出a,ab,b法二akb3,4k2,132k,4k,ab1,3akbab32k14k3155k0k3

三、课堂练习：练习

1、

2、3题



四、小结：
1.abx1x2y1y2

2.平面内两点间的距离公式 |a|3.向量垂直的判定：

(x1x2)2(y1y2)2

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab x1x2y1y20

五、课后作业：

思考：以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标.

学案55必修四2.3.1 向量数量积的物理背景与定义姓名________________备课人：张华张晓梅审核人：王志祥

一、学习目标

1.记住向量的夹角，向量在轴上的正射影及向量的数量积定义；

2.会求向量在轴l上的正射影的数量，会利用定义求向量的数量积，两向量的夹角；
会证明向量的数量积的性质。

二、自主学习：阅读课本107-109页，回答问题

问题1：给出以下向量a,b，作出a,

b



（1）a（2）b

b

（3）a（4）

abb

两个非零向量，夹角的范围为。

问题2：已知向量a和轴l，作出向量

a在轴l上的正摄影，并证明a

lacos

a

l

问题3：a·b=________，由定义回答下列问题：

（1）a

b是向量还是实数？

（2）当a，b同向时，a,

b 此时a·b 。

（3）当，反向时， a,b

此时·

。

（4）当时，a,

b，

此时· 。

（5）证明向量内积的性质（1）--（5）

问题4 ：
（

1）已知a5,b4,a,b120

,求ab

（2）已知ab5,ab10,求a,b

三、当堂练习

1、已知向量a、b，实数λ，则下列各式中计算结果为向量的有。

①＋②－③λ④·⑤· ⑥(a·b)·c⑦0·a

2.判断下列各题正确与否，并说明理由。

（1）若，则对任意向量，有·；

（） （2）若，则对任意向量，有·0；

（） （3）若，·0，则；
（）

（4）若·0，则，中至少有一个为零；
（）

（5）对任意向量a，有a2

||2；
（） （6）|a·b|≤|a||b|。

3.已知OA8,OA,l135

,则OA （）

在轴l上的正射影的

数量为_________

4.设||=12，||=9，·=－542，则与的夹角



5.在ABC中，||=3, ||=4, ∠C=30°，则

·=______________。

6.在ABC中，AB=, =，且·>0，则ABC是 三角形。

7.在ABC中，已知|AB|=|AC|=4，且AB·AC=8，则这个三角形的形状为_________

8.在ABC中，三边长均为1，且=，=，=，求·+·+·的值。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

整体设计

教学分析

平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.

前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.

教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三维目标

1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点

教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.

思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推进新课 新知探究 提出问题 ①平面向量的数量积能否用坐标表示? ②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢? ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ ④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？

活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下: ∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j, ∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j) =x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0, ∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1°平面向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐标表示

若a=(x,y),则|a|=x+y,或|a|=x2y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),|a|=(x2x1)2(y2y1)2.3°两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥bx1x2+y1y2=0.4°两向量夹角的坐标表示

设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122

2xy2222

讨论结果:略.应用示例

例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.

活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明.∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB·(-3)+1×3=0.AC=1×∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形.

点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练

在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.

AC=0.若∠A=90°,则AB⊥AC,所以AB·于是2×1+3k=0.故k=23.

113同理可求,若∠B=90°时,k的值为32113; 若∠C=90°时,k的值为

13.故所求k的值为23或或

3213.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值; (2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.

活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=x1y1,|b|=即cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122x2y2的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,

22xy2222.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AC=3×∴AB·(-1)+3×6=15.又∵|AB|=3232=32,|AC|=(1)262=37, ABAC|AB||AC|15323757474∴cos∠BAC=

.

(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.设a与b的夹角为θ,则 cosθ=ab|a||b|15352220≤θ≤π,∴θ=.又∵

34.

点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练

设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ.(精确到1°) 解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=52(7)2由计算器得cosθ=74,|b|=(6)(4)2252

27452≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.

例3 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若a⊥b,求a; (2)若a∥b,求a.

活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆, 应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且a⊥b, x2y2|a|29,得 2x3x0,99x13,x13,1313解得 或66yy1313,1313∴a=(91313,61313)或a=

91313,61313.

(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得 x2y2|a|29, 3x2y0.6x13解得y91313,6x13或y9131313)或a=(61313, 13.913∴a=(61313,91313,13).

点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练

求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=12x的图象(直线l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2), CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).

CD=1×由向量的数量积的坐标表示,可得AB·(-2)+1×2=0, ∴AB⊥CD,即l1⊥l2.知能训练

课本本节练习.解答: 1.|a|=5,|b|=29,a·b=-7.2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49.3.a·b=1,|a|=13,|b|=74,θ≈88°.

课堂小结

1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业

课本习题2.4 A组

8、

9、10.

设计感想

由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.

平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标：

1、知识目标:推导并掌握平面向量数量积的坐标表达式，会利用数量积求解向量的模、夹角及判定垂直等问题.

2、能力目标:通过自主互助探究式学习,培养学生的自学能力,启发学生用多角度去思考和解决问题的能力,促进学生对知识的掌握和灵活运用.

3、情感目标:通过自主学习,增强学生的成就感,提高学生学习的积极性和自信心.教学重点:利用数量积的坐标表示解决模、夹角、垂直等问题.教学难点:平面向量数量积的坐标表达式的推导.教法:启发式教学,讲练结合 学法:自主互助探究式 教学用具:多媒体 教学过程设计:

一、复习引入

(教师提问,学生回答)

二、知识探究

1.平面向量数量积的坐标表示

b(x,y)abx1x2y1y2 a(x,y)已知非零向量,22,则11(找学生到黑板上推导) 结论:两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.思考:向量数量积的坐标表示与前面所学的向量的坐标运算有什么联系和区别?

(学生讨论回答,教师归纳) 例

1.已知a(2,3),b(2,4),c(1,2),求: (1)ab; (2)a(bc); (3)

(ab)(ab); (4)2(ab).

(教师讲前两问,学生做后两问)

2.平面向量数量积的应用

(1)求模问题:

(让学生自己推导) i)a(x,y),axy22.

(x2x1)(y2y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,

AB (平面上两点间距离公式).

a1iii)求a的单位向量e,eaaa,其中e1.

例2.(1)已知a(3,4),e是a的单位向量,求a,e.

(2)已知A(1,2),B(3,4),求

巩固练习:P107练习1 已知a(3,4),b(5,2),求aAB.

,

b,ab

(2)判定向量的垂直关系: (让学生自己推导) abab0x1x2y1y20

a//bx1y2x2y10

(对比记忆) 例3 .已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的形状,并给出证明.

(3)求向量的夹角: (让学生自己推导) 思考:i)的范围?

ii)由cos能确定吗?为什么?

(找学生回答) 例4.

巩固练习.P107 练习3

已知a(3,2),b(5,7),求a与b设a(5,7),b(6,4),求ababcosabx1x2y1y2xy2121xy222

2及a与b的夹角(精确到1).

0的夹角(精确到1).

0

思考:不使用计算器,结合上面的例题,能求出的值吗? (找学生回答)

三、能力提升

已知a(cos,sin),b(cos,sin),证明

(ab)(ab).

四、小结

这节课咱们一起学习了: 1.平面向量数量积的坐标表示 2.平面向量数量积的应用 (1)求模; (2)判定垂直; (3)求夹角.希望大家在掌握的基础上加以灵活应用.

五、作业

P108 A组5(1) ,(2),(3)任选一个、

9、11.

六、课后探索题: 已知a(2,1),b(x,1)

(1)若a与b(2)若a与b(3)若a与b的夹角为45,则实数x的值是_____;

0的夹角为锐角,则实数x的取值范围是_____; 的夹角为钝角,则实数x的取值范围是_____.

一、教材分析

1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。我将本节教学目标确定为：

1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题

2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

教学重点

平面向量数量积的坐标表示及应用

教学难点

探究发现公式

二、教学方法和手段

1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。

2教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提高学生的学习兴趣。

三、学法指导

改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。独立思考，自主探索，动手实践，合作交流等都是学习数学的重要方式，这些方式有助于发挥学生学习主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。以激发学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。为了实现这一目标，本节教学让学生主动参与，让学生动手，动口、动脑。通过思考、计算、归纳、推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索。具体体现在：1、通过提出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，使学生在自主探究中发现了结论，推广了命题，使学生感到成果是自己得到的，增强了成就感，培养了学生学好数学的信心和良好的学习动机。2、通过数与形的充分挖掘，通过对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养了学生数形结合的数学思想，教给了学生类比联想的记忆方法。

四、教学程序

本节课分为复习回顾、定理推导、引申推广、例题讲析、练习与小结五部分。

复习回顾部分通过两个问题，复习了与本节内容相关的数量积概念，为本节内容的学习作了必要的铺垫。

定理推导部分通过设问，引出寻求向量的数量积的坐标表示的必要性，引入课题，并引导学生应用前述知识共同推导出数量积的坐标表示。

引申推广部分，让学生自主推导出向量的长度公式，向量垂直条件的坐标表示、夹角公式等三个结论，强化了学生的动手能力和自主探究能力。

例题讲析，通过四道紧扣教材的例题的精讲，突出了结论的应用，也起到了示范作用。

练习及小结：通过练习题验收教学效果，突出训练主线，小结部分画龙点睛，强调本节重点。再结合课后作业，进一步实现本节课的教学目的。同时小结也体现主体性，由教师提出问题学生总结得出。

平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教学设计

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标

1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；
另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

四、教学重难点

1、重点：平面向量数量积的定义。

2、难点：平面向量数量积的定义的理解。

五、教学准备

1、实验教具：计算机、黑板、粉笔

2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

六、教学导图

七、教学过程

（I）创设情境，引入课题（4min）

【问题】：如图所示，一辆小车，在力F的作用下，从A处到B处拉动的位移为S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？ （1）力F所做的功W=

。

（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是 量，α是 。

( 3 )师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量。

【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

（II）步步探索，形成概念（20min）

1、概念的明晰

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 ︱a︱·︱b︱cosθ 叫做 a与 b的数量积（或内积），记作：a ·b

【学生思考】：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 【问题1】：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

【问题2】：数量积的几何意义是什么？ 并在此对向量积投影的讲解。

2、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积 。

【问题3】：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

【设计意图】：这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。好铺垫。

我设计问题 一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

4、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出：
【问题4】：比较︱ a·b ︱与︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么结论？ 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

5、明晰数量积的性质

【设计意图】：体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质.

6、运算律的发现

关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9 【问题5】：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 学生可能会提出以下猜测：
猜测①的正确性是显而易见的。

关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。

这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：

9、明晰数量积的运算律

10、证明运算律

学生独立证明运算律（2） 师生共同证明运算律（3）

运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。

【设计意图】：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

（III）课堂练习，巩固提高（15min）

例

1、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种运算？

例

2、（学生独立完成）对任意向量a，b是否有以下结论：
（1）( a+b )2= a2+2a ·b +b

2（2）( a+b)·( a-b )=a2—b2 例

3、（师生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k 与-k互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

【设计意图】：本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

例

4、为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：

1、下列两个命题正确吗？为什么？

①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，则＝．

2、已知△ABC中，

=,

=，当·

【设计意图】：安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，

通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

（IV）课堂小结，教学反思（4min）

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

【设计意图】：通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

八、课后练习

1、课本P121习题2.4A组

1、

2、3。

2、拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a -5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直 求a与b的夹角。

【设计意图】：在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

平面向量数量积的坐标表示教案1

教学目标

1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．

2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直． 3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．

重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．

难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用． 教学过程设计

(一)学生复习思考，教师指导．

1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．

＝________

＝________

2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2) ＝________

3．向量的数量积满足那些运算律？

(二)教师讲述新课．

前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．

设两个非零向量为

＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．

＝x

1＋y1

为x轴上的单

＋y

2 位向量， 为y轴上的单位向量，则， ＝x2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

1

引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：

(1)向量模的坐标表示：

(2)平面上两点间的距离公式：

向量=

(3)两向量的夹角公式

设＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，

＝θ． 的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

4．两向量垂直的充要条件的坐标表示

＝(x1，y1)，

＝(x2，y2)．

即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．

(三)学生练习，教师指导．

练习1：课本练习1．

已知a(－3，4)， (5，2)．

练习2：课本练习2．

已知 ··(＝(2，3)， ＝(－2，4)， ＝(－1，－2)． ＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋

＋

)·(

－

)＝－7．

)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．

练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．

求证：△ABC是直角三角形．

证：∵

经检验，

∴⊥ ＝(1，1)， ·

＝(－3，3)，

＝(－4，2)．

＝1×(－3)＋1×3＝0．

，△ABC是直角三角形．

(四)师生共同研究例题．

例1：已知向量

＝(3，4)， ＝(2，－1)．

2

(1)求

(2)若

解：(1) 与＋x

的夹角θ， 与

－

垂直，求实数x的值．

＝(3，4)， ＝(2，－1)．

(2)

( ＋x与＋x)·(

－－

垂直， )＝0，

＋x

＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x) －＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．

例2：求证：三角形的三条高线交于一点．

证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．

∵⊥

，

＝(－x1，y)，

＝(－x2，y1)．

(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．

即 x1x2＋yy1＝0．

又

∴·⊥＝(－x2，y)，

＝(－x1，y1)．

＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0． ，CP是AB边上的高．

故三角形的三条高线交于一点．

3

(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．

作者：李智勇

何涛澜

电话：13886427677 单位地址：湖北省红安县第一中学 （湖北省红安县城关镇边街3号）

邮编：438400

平面向量数量积最值问题的再探讨

李智勇

何涛澜

（湖北省红安县第一中学

438400）

近几年,平面向量数量积的最值问题又再次频频出现在各地的高考卷上,成为新课改地区高考中的一个热点问题,现以两例具体问题来阐述此类问题的解决途径.例

1、（05年江苏高考试题)在ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM2,则OA(OBOC)的最小值是__________.分析:(如图)本题的突破口关键在于AM为ABC的中线,故易知

OBOC2OM,所以:OA(OBOC)OA(2OM)2(OAOM)

从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.方法一:借助基本的向量运算降低问题难度

应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的 解:AM为ABC的中线OBOC2OM

OA(OBOC)OA(2OM)2(OAOM)2|OA||OM|cos2|OA||OM|

|OA||OM|2|AM|2)1OA(OBOC)2 又|OA||OM|(24方法

二、建立直角坐标系降低问题门槛

从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.解:以M点为圆心,AM所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设A(0,2),B(x,y),O(0,z),则C(x,y)

OA(0,2z),OB(x,yz),OC(x,yz) OBOC(0,2z)(0z2)

OA(OBOC)(2z)(2z)2(z1)22

故OA(OBOC)的最小值为2

例

2、（04年湖北高考试题)在RtABC中,BCa,若长为2a的线段PQ以A点为中点,问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.方法一：解:

11BPCQ(BAAP)(CAAQ)(BAPQ)(CAPQ)

2221111BPCQBACAPQ(BACA)PQBACAPQBC|PQ|2

2424又BACA,|PQ|2a,|BC|a

11PQBCa2|PQ||BC|cosa2a2cosa2 22BPCQ当cos1,即0(PQ与BC同向)时,BPCQ取到最大值0.方法二：以A点为原点,AB边所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系.设CAB,PQ与AB的夹角为,则B(acos,0),C(0,asin)

P(acos,asin),Q(acos,asin)

BP(acosacos,asin),CQ(acos,asinasin)

BPCQa2cos2a2coscosa2sin2a2sinsina[1cos()]2

当cos()1即(PQ与BC同向)时,BPCQ的最大值为0

点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.

练习:如图,已知等边ABC的边长为2,又以A为圆心,半径为1作圆,PQ是直径,试求

BPCQ的最大值,并指明此时四边形BCQP的形状.

答案:BPCQ的最大值为3,此时四边形BCQP为矩形.

作者：李智勇

何涛澜

单位地址：湖北省红安县第一中学 （湖北省红安县城关镇边街3号） 电话：13886427677 邮编：438400

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1． 掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义；

2． 掌握平面向量数量积的运算律；

二、过程与方法：

渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；
借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；
培养学生转化问题的能力.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；
树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点] 向量的数量积的定义及性质． [教学难点]

对向量数量积的定义及性质的理解和应用．

一、复习回顾，新课引入

1． 向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y) 4．平面向量的坐标运算

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

5．a∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 6．线段的定比分点及λ

P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ， 使 =λP1PPP2，λ叫做点P分

P1P2所成的比，有三种情况：SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

λ>0(内分)

(外分) λ

( 外分)λ

1的意义是什么？ ○2|F|cos的意义是什么？○3|S|cos 的意义是什么？

○

二、师生互动，新课讲解：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

C

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|·|b|·cos叫做a和b的数量积（或内积）。记作：a·b

即：a·b=|a|·|b|·cos

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；
今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；
但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|  ab = bc

但a  c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

a = c SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；
当为锐角时投影为正值；
当为钝角时投影为负值；
当为直角时投影为0；
当 = 0时投影为 |b|；
当 = 180时投影为 |b|.4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则：
1）eaae|a|cos 2）abab0

3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|；
当a与b反向时，a·b= -|a|·|b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=aa 4）cosab|a||b| 5）|a·b||a|·|b| 例1（课本P104例1） 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab.解：ab=|a||b|cos=54cos120=-10.

变式训练1：向量|a|=6，a与b的夹角为120，求a在b方向上的投影.（-3）

3． 数量积的运算律 （1）ab= ba；

（2）(a)b=( ab)=a(b)；

（3）(a+b)c=ac+bc

例2（课本P105例2） 对于任意向量a，b证明（1）(a+b)2=a2+2 ab+b2；
（2）(a+b)(a-b)=a2-b2.SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)

=aa+ab+ba+bb

=a2+2ab+b2；

（2）(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.

变式训练2：判断下列说法是否正确：

（1） 若a=0，则对于任一向量b，有ab=0.

( ) （2） 若a0，则对任一非零向量b，有ab0.

(  ) （3） 若a0，ab=0，则b=0.

(  ) （4） 若ab=0，则a，b至少有一个为零.

(  ) （5） 若a0，ab=ac，则b=c.

(  ) （6） 若ab=ac，则b=c，当且仅当a0时成立.

(  ) （7） 对任意向量a、b、c，有(ab) ca(bc).

(  ) （8） 对任意向量a，有a2=|a|2.

( ) 例3（课本P105例3） 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)(a-3b).解：(a+2b)  (a-3b)=aa-ab-6bb

=|a|2-ab-6|b|

2=|a|2-|a||b|cos-6|b|2

=-72.变式训练3：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；

若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9 例4（课本P105例4）已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？ 解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)  (a-kb)=0,

12SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

即a2-k2b2=0，

∵ a2=32=9，b2=42=16,

∴ 9-16k2=9，∴k= .变式训练4：已知|a|=2，|b|=4，ka+b与ka-b垂直，求实数k的值. 解：(ka+b)  (ka-b)=0 k2a2-b2=0 k2|a|2-|b|2=0 4k2-16=0 k=2.课堂练习（课本P106练习NO：1；
2；
3）

三、课堂小结，巩固反思：

1． 平面向量的数量积的物理背景及几何意义；

2． 平面向量数量积的运算律.

四、课时必记：

1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

2、|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.

3、设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则：

1）eaae|a|cos 2）abab0

3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|；
当a与b反向时，a·b= -|a|·|b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=aa 4）cosab|a||b| 5）|a·b||a|·|b|

五、分层作业：
A组：

1、（课本P108习题2.4 A组：NO：2）

2、（课本P108习题2.4 A组：NO：6） SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、（课本P108习题2.4 A组：NO：7）

4、.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（

）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

5、已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)＝______.B组：

1、已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a、b的夹角为６0°，求|a+b|；
(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.

2、设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. C组：

1、(tb1225172)已知：(a3b)垂直于(7a5b)、(a4b)垂直于(7a2b)，求a与b的夹角。

（答：

２）

32、(tb1225577)设e1和e2是两个单位向量，其夹角为600，试求向量a=2e1+e2和b=-3e1+2e2的夹角。 （答：1200）

学案---------高一年级（上）数学NO.48 课题：2.4向量的数量积

（二）教案

备课时间 2007-12-13 上课时间：

主备：贾永亮 审核：
姓名：

〖 点拨²导学 〗

1、学习目标：

（1）、会进行平面向量数量积的坐标运算。

（２）、能用平面向量数量积的坐标表示，实现数与形的转化。

（3）、会用数量积处理向量夹角，垂直问题，掌握向量夹角，垂直坐标表示。

2、学习重难点：会用数量积处理向量夹角，垂直问题。

〖 温故²知新 〗 已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与kab互相垂直，求k的值？

〖 探究²研讨 〗



1、若两个向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），利用向量的运算律计算：ab

即：两个向量的数量积等于__________________即：____________________ 2思考：（1）、设a=（x，y），则a=_______________，|a|=_____________ （2）、用向量方法推导出两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式AB= 

2、设两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），它们的夹角为，由向量的数量积的定义计算cos。

特别地：（1）、若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间有何关系？

（2）、若x1x2+y1y2=0，则a⊥b吗？

3、应用：

（1）、已知直线l1：x-2y=0和l2：x+3y=0，求直线l1和l2的夹角。

学案---------高一年级（上）数学NO.48 （2）、在△ABC中，设AB=（2，3），AC=（1，k），且△ABC是直角三角形，求k的值。



3、已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为60，求 (a + 2b)²(a3b) ．

变式：已知a3,b4,aba2b23,那么a与b夹角为（

） A、60

B、90

C、120

D、150

〖 测试²反馈 〗

1、已知向量a(x5,3),b(2,x)，且 ab，则x的值为（ ） 

2、已知a=（1，2），b=（3，－1）且a+b与a－λb互相垂直，则实数的λ值为（

）

611611 A．－

B．－

C．

D．

116116

3、已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a –b）²a等于

（A）15

（B）12

（C）6

（D）3 〖 迁移²提高〗

1、在△ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，SABC=3，则AB²AC等于（ ）

A.－2 B.2

C.±2

D.±4 A 6 B 2 C 2或3 D －1或6

2、设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.



3、设MB=（2，5），OB=（3，1），OC=（6，3），在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求点M的坐标；
若不存在，请说明理由。

《平面向量的数量积及运算律》的教案说明

新疆石河子第一中学曹丽梅

一、教学内容的本质：

本教案是人教版高中数学第一册（下）第五章平面向量的第六节内容，整个课题按照课程标准分两个课时，这是第一课时的教案。

平面向量数量积第一课时的教学，通常要求形成数量积的概念，得出数量积运算的公式，并把培养学生的探究精神和应用意识的目标，有机地融入知识学习和技能形成的过程之中。平面向量数量积是平面向量的重点内容之一，也是难点之一，这一节主要介绍两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法有区别，同时这一节与下一节平面向量的数量积的坐标表示有着紧密联系。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。通过对这一节的学习，既可以让学生掌握平面向量的数量积，几何意义，重要性质及运算律，又可使学生了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度，和垂直问题，而且为平面向量的数量积的坐标表示的学习做了充分准备，对后面正，余弦定理的证明起到至关重要的作用，因此本节课的教学内容起着承前启后的作用。

根据“平面向量的数量积及运算律”在高中数学中的地位与作用，并且考虑到学生已有的认知结构心理特征，我认为本节课的教学目标应以人为本注重对学生自主能力的培养，启发引导学生发现问题，观察问题，进而得以解决问题，在这一过程中希望能充分调动学生的积极性，不断激发学生学数学的兴趣。

二、教学内容的应用及渗透

平面向量作为一种工具，重在应用，而且今后用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题；
而平面向量的数量积作为一种特殊的运算也有它不可替代的作用，如：求向量的模长，夹角，推导正、余弦定理等。

由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，众所周知，物理与数学是密不可分的，而向量在物理中的应用比比皆是，举不胜举，反过来物理又可为某些数学知识作有效的解释。比如：本课时的引入就是以物体在力的作用下所做的功为模型，事实上这也就是平面向量数量积的物理意义，这样可以更贴近生活，使学生更容易理解平面向量数量积的概念，符合学生的认知习惯。同时解析几何也往往将向量作为有力的解题工具。

三、教学分析

《数学课程标准》中强调：“数学课程要实现：人人学有价值的数学；
人人都获得必需的数学；
不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，她倡导的“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学的应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的价值取向。

为使《数学课程标准》得以顺利实施，教师理应不断更新教学观念，努力成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者。通过精心设计、实践与反思，不断改进教学方法和教学手段„„以优化课堂教学，提高课堂教学的效率。课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，关注学生的体验、感悟和实践过程。

基于以上认识，对于“平面向量数量积及运算律”引入，我进行了这样的

教学设计：
首先演示一个外力作功的实验：W=|F| |S|cosθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。

其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。

再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。

结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，

学生容易忽略；
书写中符号“”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；
运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。

最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。

四、教法及教学反思

教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。同时，在教学中要注意引导学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他们成为学习的主人。而贯彻数形结合思想是克服难点的有效举措．通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践，运用知识解决问题的能力将得到提高。由于课堂教学准备的较充分，基本能达到预定目标。

教学反思，是教师对自身教学工作的检查与评定，是整理教学中的反馈信息，适时总结经验教训、找出教学的成功与不足的重要过程。因此教学后适时的反思有利于促进教学，以上就是我对本节课的理解和反思。

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：

一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180（2）两向量共线的判定（3）练习

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：

1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；
今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 1 也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；
但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA| ab = bc 但a  c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当为锐角时投影为正值；

当为钝角时投影为负值；

当为直角时投影为0；

当 = 0时投影为 |b|；

当 = 180时投影为 |b|.3．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，

1、ab  ab = 0

2、当a与b同向时，ab = |a||b|；

当a与b反向时，ab = |a||b|.特别的aa = |a|或|a|aa |ab| ≤ |a||b| cos =探究：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos ∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

2ab

|a||b| 2 若

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c， ∵a + b （即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos

2∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

２

ａ＝ｂ

２（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、讲解范例：

例1．证明：(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ ２

２

２

例2．已知|a|=12， |b|=9，ab542，求a与b的夹角。

例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）|a+b|与|a-b|. （ 利用 |a|oaa ）

例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

四、课堂练习：

1．P106面

1、

2、3题。

2．下列叙述不正确的是（ ）

A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数 3．|a|=3，|b|=4，向量a+

33b与a-b的位置关系为（ ） 44A.平行 B.垂直 C.夹角为

 D.不平行也不垂直 3 4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.

五、小结：

1．平面向量的数量积及其几何意义；

2．平面向量数量积的重要性质及运算律；

3．向量垂直的条件.

六、作业：《习案》作业二十三。

3

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