弦振动的研究
一 、实验目的
1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。
2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长 L 和弦的张力Τ的关系，并进行测量。
二、实验仪器
弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺
三 、实验 原理
为了研究问题的方便，认为波动是从 A点发出的，沿弦线朝Ｂ端方向传播，称为入射波，再由Ｂ端反射沿弦线朝Ａ端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖Ｂ到适合位置．弦线上的波就形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。
设图中的两列波是沿 X 轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。
下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿 X 轴正方向传播的波为入射波，沿 X 轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O”，且在 X＝0 处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程图（2）
分别为：
Y 1 ＝Acos2(ft－x/ ) Y 2 ＝Acos[2 (ft＋x/λ)+ ] 式中 A 为简谐波的振幅，f 为频率，为波长，X 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：
Y 1
＋Y 2 ＝2Acos[2（x/ ）+/2]Acos2ft
① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2（x/ ）+/2] |，与时间无关 t，只与质点的位置 x 有关。
由于波节处振幅为零，即：｜cos[2（x/ ）+/2] |＝0 2（x/ ）+/2＝(2k+1) / 2
( k=0.2.3.… )
可得波节的位置为：
x＝k /2
② 而相邻两波节之间的距离为：
x k ＋ 1 －x k ＝(k＋1)/2－k / 2＝ / 2
③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即
｜cos[2（x/ ）+/2] |
=1 2（x/ ）+/2 ＝k
( k=0.1.2.3. )
可得波腹的位置为：
x＝(2k-1)/4
④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。
在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：
L＝n / 2
( n=1.2.3.… ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为：
＝2L / n
⑤ 式中 n 为弦线上驻波的段数，即半波数。
根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝f，将⑤式代入可得弦线上横波的
传播速度：
V＝2Lf/n
⑥ 另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：
V＝(T/ρ) 1/2
⑦ 式中 T 为弦线中的张力，ρ 为弦线单位长度的质量，即线密度。
再由⑥⑦式可得
f =（T/ρ）
1/2 （n/2L）
得
T＝ρ / (n/2Lf ) 2
即
ρ＝T (n/2Lf ) 2
( n=1.2.3.… )
⑧ 由⑧式可知，当给定 T、ρ、L，频率 f 只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。
四、实验内容
1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据 2、测定 11 个砝码的质量，记录数据 3、组装仪器
4、调节电振音叉频率，弦线长度和砝码数量得到多段驻波，用米尺测量驻波长度，记录频率，砝码质量，波数，波长。（靠近振动端的第一个驻波不完整，要从第二个驻波开始测量波长）
五 、数据 记录 及处理
1、弦线密度测定 弦线总长：2.00m
总质量：0.383g
σ=0.383/2.00=0.1915
g/m 2、砝码质量测定：
兰州 g=9.793m/s2 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
质量/g 10.015 10.016 9.988 10.020 10.009 10.000 10.013 10.006 10.018 10.018 4.997
波数 波长 L/cm 张力 T/N 频率 f/Hz 砝码 m/g 9 17.30 0.049 45.04 4.997 8 17.38 0.049 48.17 4.997 7 16.13 0.049 49.26 4.997 6 20.31 0.098 43.70 10.015 5 23.16 0.098 16.51 10.015 4 30.60 0.196 53.21 20.031 3 41.44 0.343 54.81 35.022 2 69.50 0.980 50.00 100.093 T/N 0.049 0.049 0.049 0.098 0.098 0.196 0.343 0.980 v/m/s 0.506 0.506 0.506 0.715 0.715 1.012 1.338 2．262
lgT/N -1.309 -1.309 -1.309 -1.009 -1.009 -0.708 -0.465 -0.009 lgv/m/s -0.296 -0.296 -0.296 -0.146 -0.146 0.005 0.126 0.354
六 、实验分析
本实验结果基本符合经验公式，但还存在误差，分析有以下原因 ：
1、未等挂在弦线上的砝码稳定就开始测量。
2、未等形成的驻波稳定就开始记录数据。
3、用米尺测量时读数不够精确。
七、实验问题 1、.如果要确定 v 与σ的关系，实验应如何安排?
答：应准备材质不同的弦线，在频率 f 和张力 T 一定的情况下，出现不同数量的驻波，测量对应波长 L，V=2Lf，作出σ—V 图像。σ作为 V 的幂函数令σ=AV ，
两边取对数得 lgσ=lgA+BlgV 作 lgσ—lgV 图像求 A,B.若 B=V,A=T 则公式推导正确。
2、弦振动时，使 N（波数）为偶数，将音叉转 90°后，观察现象，并说明原因。
答：旋转音叉 90°波数变为 N/2。原因是音叉带动的弦线由原来的左右摆动变成了前后摆动，形成的都是横波，原来左右振动一个周期形成两个波，旋转 90°之后前后振动一个周期只形成了一个波，此时，电振音叉的振动频率不变，但是弦线的振动频率变为了原来的一半，所以波数减半。
仿佛可以透过文章看到那样的画面！