中值定理证明

☆例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)f(1)f(2)3，f(3)1.

试证：必存在(0,3)，使f()0

证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是

1mf(0)M；
mf(1)M；
mf(2)M，故m[f(0)f(1)f(2)]M.由

3连续函数介值定理可知，至少存在一点c[0,2]使得f(c)1[f(0)f(1)f(2)]1，3因此f(c)f(3)，且f(x)在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在(c,3)(0,3)使得f()0。

☆例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且32f(x)dxf(0)

31求证：存在(0,1)使f()0

证：由积分中值定理可知，存在c[,1]，使得

"231232f(x)dxf(c)(1)

3得到

f(c)3123f(x)dxf(0)

对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在(0,c)(0,1)，使f()0

1k0☆例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k1，有f(1)kxe1xf(x)dx，求证存在(0,1)使f()(1)f()

1111x1c证：由积分中值定理可知存在c[0,]使得kxef(x)dxcef(c)(0)

0kk1令F(x)xe1xf(x)，可知F(1)f(1) 这样F(1)f(1)k1k0xe1xf(x)dxce1cf(c)F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理（三个条件都满足）存在(c,1)(0,1)，使F()0 而F(x)e1xf(x)xe1xf(x)xe1xf(x)

1∴ F()e1[f()(1)f()]0

又e110，则f()(1)f()



在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f()0，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x)，它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F()0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，（a,b）内可导，f(a)f(b)0则下列各结论皆成立。

（1）存在1(a,b)使f(1)lf(1)0（为实常数）

k1（2）存在2(a,b)使f(2)k2f(2)0（为非零常数）

（3）存在3(a,b)使f(3)g(3)f(3)0（g(x)为连续函数）证：（1）令F(x)ef(x)，在[a,b]上用罗尔定理

∵ F(x)lef(x)ef(x)

∴ 存在1(a,b)使F1le

消去因子，即证.（2）令F(x)exf(x)，在[a,b]上用罗尔定理

F(x)kxk1exfx()exfx( )k12

存在2(a,b)使F(2)k2ef(2)e2f(2)0

kkkkklxlxlxl1f1el1f10

消去因子，即证。

（3）令F(x)eG(x)f(x)，其中G(x)g(x)

F(x)g(x)e

清去因子eG(3)G(x)f(x)G(x)

由ef(x)F(3)0

，即证。

例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)f(1)0，f()1，试证：

（1）存在(,1)，使f()。

（2）对任意实数，存在(0,)，使得f()[f()]1

证明：（1）令(x)f(x)x，显然它在[0, 1]上连续，又12111(1)10,()0，根据介值定理，存在(,1)使()0即f()

222（2）令F(x)ex(x)ex[f(x)x]，它在[0,]上满足罗尔定理的条件，故存在(0,)，使F()0，即

eff10 f()] 1从而

f()[（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取为，f(x)取为(x)f(x)x）

模型Ⅱ：设f(x)，g(x)在[a,b]上皆连续，（a,b）内皆可导，且f(a)0，g(b)0，则存在(a,b)，使

f()g()f()g()0

证：令F(x)f(x)g(x)，则F(a)F(b)0，显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件，则存在(a,b)，使F()0，即证.例5 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，f(0)0，为正整数。

求证：存在(0,1)使得f()kf()f()

证：令g(x)(x1)，a0,b1，则f(0)0，g(1)0，用模型Ⅱ，存在

k(0,1)使得

f()(1)kk(1)k1f()0

故f()(1)kf()0 则f()kf()f()

例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f(x)g(x)f(x)g(x)，求证f(x)在(a,b)内任意两个零点之间至少有一个g(x)的零点

证：反证法：设ax1x2b，f(x1)0，f(x2)0而在(x1,x2)内g(x)0，则令F(x)f(x)在[x1,x2]上用罗尔定理 g(x)f(x1)f(x2)0,F(x2)0] g(x1)g(x2) [f(x1)f(x2)0,F(x1) （不妨假设g(x1)0,g(x2)0否则结论已经成立）

则存在(x1,x2)使F()0，得出f()g()f()g()0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点

例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，且g(x)0，又f(a)f(b)g(a)g(b)0

求证：（1）在（a,b）内g(x)0；

（2）存在(a,b)，使

f()f() g()g()

证：（1）用反证法，如果存在c(a,b)使g(c)0，则对g(x)分别在[a,c]和[c,b]上用罗尔定理，存在x1(a,c)使g(x1)0，存在x2(c,b)使g(x2)0，再对g(x)在[x1,x2]上用罗尔定理存在x3(x1,x2)使g(x3)0与假设条件g(x)0矛盾。所以在(a,b)内g(x)0 （2）由结论可知即f()g()f()g()0，因此令F(x)g(x)f"(x)g"(x)f(x)，可以验证F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F(a)F(b)0满足罗尔定理的三个条件故存在(a,b)，使F()0 于是f()g()f()g()0成立

例8 设f(x)在0,3上连续，（0，3）内二阶可导，且2f(0)f(x)dxf(2)f(3)

02（I）证明存在0,2 使ff0

（II）证明存在0,3 使f""0 证：（I）由积分中值定理，存在0,2，使fxdxf20

02故存在0,2使2f02f即f

f0

f2f3f0，

2（Ⅱ）由2f0f2f3，可知∵fx在2,3上连续由价值定理可知存在c2,3，使fcf0，由于fx在0,上连续，0,内可导，且f0f根据罗尔定理存在10,，使f"10 又fx在,c上连续，,c内可导，且f

fc根据罗尔定理存在2,c（可知21）使f"20，最后对f"x在1,2上用罗尔定理可知存在1,20,3,使f\"

0

第一章

积分中值定理

一、本章有一个按序排列而成的定理系列，即罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它们都拥有一个“微分中值点”，故有时也将其统称为微分中值定理，该定理系列在微分学的理论中起着极为重要的作用，故需要大家学习时要格外重视。在应用这些定理时，要特别注意“点”，定理只告诉了我们//的存在性，并未指出它的确切位置（实际上，许多情况下我们并不需要知道它的确切位置，只要知道//存在就足够了），若忽视了这一点，在作题的过程中就容易出错或无法达到目的。如设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，证明存在//，使得

ab(ba)2)f(a)f()。

f(b)2f(2

4分析：根据给出的条件以及要证明的表达式，我们往往联想采用如下的方法

ab)f(a) 2abab[f(b)f()][f()f(a)]

（*）

22ba

[f(1)f(2)]

2ba

(12)f()

2ab

（a2。

1b,21）

2 f(b)2f(但是，问题很明显，由于中值定理没有确定1、2的具体位置，因此不能保证12ba，也就达不到题目的要求。但是，这种尝试给了我们有益的启示：我们把2（*）每一个方括号内的值看成一个函数的函数值，从而（*）表达式即可视为某函数在一个区间的两个端点的函数值之差，在此基础上再使用中值定理，问题就可以解决。

证明：令

则(x)在区间[a,(x)f(xba)f(x)， 2ab]上可以使用拉格朗日中值定理，故有 2abba)(a)(1) 22baba

[f(1)f(1)]

2 ((a1再在[1,1ab21ba2b)

ba（因为f(x)在(a,b)内有二阶导数），]上对f(x)应用拉格朗日中值定理2ba则存在(1,1)(a,b)，使得

2baba

f(1)f(1)f()，

22从而问题得证。

二、用罗必达法则求不定式的极限，由于分类清楚、规律性强且可以连续进行运算，故在求极限时经常用到。但需要注意法则的使用需要满足相应的条件，尤其要注意以下几点：

f(x)f(x)L（或）L1．罗必达法则的条件是充分的，也就是说，如果，则g(x)g(x)（或）。但是如果例如求 f(x)f(x)振荡发散，仍可以有极限，这一点需要引起大家的注意。g(x)g(x)1x，

limx0sin2x0这是型未定式，极限明显存在，但使用一次罗必达法则后，就会出现振荡发散的情形，0x2sin从而问题就变的无法解决。

正确的解法应为

原式=limx111xsinlimxsin0。

x0sin2xxx02x2．不是未定式，也去使用罗必达法则。例如求

AextB

lim，A与B是常数。

xext1这是含参变量的极限，应该清楚，这样的极限往往与参变量是有关系的。但我们大多数同学在处理时会不加区别的使用罗必达法则，从而出现如下的错误：

AextBAtextlimA。

limxext1xtext实际上，上面的过程只有在t0时才是正确的！而t0及t0两种情形未被考虑，因而结果必然是错误的。

3．不能灵活使用罗必达法则，而是视其为万能的，以至有时会陷入“泥潭”。例如求

lim11(cotx)。

x0xx这是一个未定式的极限，可以使用罗必达法则进行计算。但需要注意的是，若不假思索的直接使用罗必达法则，计算起来就会很繁琐。比较合理的办法是先进行有理运算，然后进行化简或利用等价无穷小代换，最后再使用罗必达法则就简单多了。解法如下：

sinxxcosxsinxxcosx limx0x0x2sinxx3cosxcosxxsinx1sinx

1 limlim。

2x0x03x33x

原式lim教材中有类似的例题及练习题，希望大家在学习是认真体会。

三、泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式。实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用，大家可以通过多做一些相应的练习题来体会。

四、关于函数性态的研究应注意以下几点：

1．若f(x)为(a,b)内的严格单调增加函数，且在(a,b)内可导，则必有f(x)0。

这一结论是不正确的。例如函数f(x)x在区间(1,1)内的点x0就不满足结论。

2．若f(x)0，则x0必为f(x)的极值点（或曰驻点一定为极值点）。

此结论同样错误。当然，结论的逆命题也不正确。教材中有相应的例子，相信大家会很容易理解。所以在实际求极值时，除了驻点外还需要格外注意导数不存在的点。

3．极大值必大于极小值。

由于极值是函数在某点邻域内的局部性质，因而极大值与极小值没有必然的大小关系。也就是说，函数在某区间内的极大值不一定大于其在该区间内的极小值。

五、不等式的证明

本章的内容进一步丰富了不等式的证明方法。

1．中值定理。由于中值定理中//是存在于区间之内的值，很明显把//用区间的两个不同端点去代换时，必然产生不等式，这就为不等式的证明提供了一种方法，实际上中值定理确

3实是不等式证明的一种有力工具。教材以及课后练习题中有比较多的题目可以训练，大家自己认真做一下，以真正掌握这种方法。

2．泰勒公式。泰勒公式证明不等式一般来说困难一些，但有些时候特别是给定的条件涉及到可导又给出某些具体点的导数时，尝试利用泰勒公式也是一种不错的选择。例如下题：

设函数f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)0，f(1)11，f()0，求证存在22(0,1)，使得f()12。

证明：由于f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f()0，故可将f(0)、f(1)在x展开成至二阶带拉格朗日余项的泰勒公式，即

121处2111111111f(1)f()f()(1)f()(1)2f(1)(1)3，11；

2222!223!22111111111 f(0)f()f()(0)f()(0)2f(2)(0)3，02。2222!223!22显然，由f(1)f(0)得

111[f(1)f(2)]()3。

23!2令(2,1)，且使得f()max{f(1),f(2)}，则不等式得证。

3．函数单调性（导数）。这种方法证明不等式理论依据简单直接，只是需要大家在构造函数时注意一点：有时函数的构造需要对所证明的不等式进行一定的变化之后实施。例如下题：

证明：0x时，sinxx。

2xx1x1，则得到f(x)cos。但是这222此题看似简单，若构造函数f(x)sin样以来问题却变的复杂了（当然，利用二阶导数借助于凹凸性问题仍可得以解决而且比较简单），可见直接移项构造函数并不总是最好的方法。而利用下面的方法解决起来似乎更好：

xxsin21

（因为原不等式可变形为21）令f(x)，则 xxxxxcos(tan)2220

（0x时，xtanx是我们熟知的结论）。

f(x)2x2sin这样问题就可以比较自然的得到证明。

摘要

本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍.

关键词：拉格朗日中值定理；
泰勒公式；
柯西中值定理；
积分中值定理；
不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application proce to prove the inequality were briefly discued

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；
Taylor"s Formula；
Cauchy Mean Value Theorem；
Inequality；
The Mean Value Theorem for Integrals

摘要 ………………………………………………………………………………（I） Abstract …………………………………………………………………………（I） 1 引言 ……………………………………………………………………………（1） 2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2） 2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式………………………………………（2） 2.2.1 直接公式法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2） 2.2.2 变量取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4） 2.2.3 辅助函数构造法 ………………………………………………………（5） 3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 ………………………………………（7） 3.1 泰勒中值定理…………„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 3.2 利用泰勒公式证明不等式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 3.2.1 中点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 3.2.2 端点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9） 3.2.3 极值取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9） 3.2.4 任意点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11） 4 柯西中值定理在不等式证明中的应用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14） 4.2 利用柯西中值定理证明不等式……………………………………………（14） 5 积分中值定理在不等式证明中的应用 ………………………………………（16）

5.1 积分中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（16） 5.2 利用积分证明不等式………………………………………………………（16）结束语 ……………………………………………………………………………（18）参考文献 …………………………………………………………………………（19）致谢 ………………………………………………………………………………（20）

1 引言

不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；
应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态.此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.

2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）.拉格朗日中值定理设函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点x0 ，使得

f"x0f(a)f(b) (1)

ba或

fbfaf"x0ba.(2) 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日定理当fafb时的特殊情形.拉格朗日定理中，由于ax0b，因而可将x0表示为

x0a(ba)，01.这样（1）式还可表示为

fbfaf"aba，01.(3) 若令bah，则有

fahfaf"ahh，01.（4）一般称式（1）、（2）、（3）、（4）式为拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 证明不等式sinx1-sinx2x1-x2成立. 分析首先要构造一个辅助函数fx；
a 由欲证形式构成“形似”的函数区间.b 运用拉格朗日公式来判断.证明设fxsinx,xx1,x2.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2f"x1x2 ， x1,x2.等式两边同取绝对值，则有

sinx1sinx2f"x1-x2.而

fsin"xxcos.

又因为 0cos1.因此，就得到

sinx1-sinx2x1-x2.

证毕.评注此题如果单纯地应用初等数学的方法来证明，会难以得出结论，而应用了拉格朗日公式，再利用三角函数的简单知识，问题就游刃而解了.例2.2 证明不等式arctanx2arctanx1x2-x1，（x2x1）成立.分析此题利用反三角函数的有关知识，构造一个辅助函数fxarctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以轻轻松松地解出此题.证明设fxarctanx,fx在x1,x2上满足拉格朗日定理的全部条件，因此有

arctanx2arctanx11（x2x1）， x0x1,x2.21x0因为11 ，可得 21x0arctanx2arctanx1x2x1.

例2.3[3] 证明pbp1(ab)apbppap1ab,(p1,ab0).

证明设函数，f(x)xp，则，f(a)f(b)apbp．不难看出f(x)在区间b,a上满足拉格朗日定理条件，于是存在b,a，使

f(a)f(b)(ab)f"().由于f"xpxp1，所以f"()pp-1，上式为

apbp(ab)pp1.因为xp当p1时为单调增函数，ba，所以

bp-1p-1ap-1.两边同时乘以pab，则得

pbp1(ab)pp1(ab)pap1(ab)，

即

pbp1(ab)apbppap1(ab)，证毕. 2.2.2 变量取值法

例2.4 证明不等式

babb-aln 成立，其中ba0.baa分析（1）根据题中式子构造一个相似函数，fxlnx和定义区间a,b. （2）利用对数的四则运算法则，将对数式整理成拉格朗日中值定理所满足的形式，从而得出结论.证明设fxlnx，xa,b.由拉格朗日公式（3），则有

lnbb-alnb-lna.（1） aab-a由不等式01，可推得

aab-ab及代入（1），

即

babb-aln.

证毕.baab评注解此题关健在于观察要证明的不等式中把对数式ln拆开成

ab-abab-a.ba(ba)alnb-lna，再利用拉格朗日的公式来轻松地得出结论.例2.4 证明不等式

hln1hh，对一切h-1，h0成立.1h分析此题首先利用对数的有关知识，构造了一个辅助函数lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此题.证明由拉格朗日公式（4），令a1，f(x)lnx.则有

ln1hln1h-ln1h1h01. ，（1）

当h0时，由不等式 01 ，可推得

11h1h及

hhh .（2） 1h1h当-1h0时，由不等式01，可知

11h1h0.由于h0，可推（2）式成立，将（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.

评注证明此种不等式的关健是构造一个辅助函数，再利用初等数学的有关知识来证明不等式.例2.5 证明若x0，则ex1x.

证明令f(x)ex，则f(x)在R上连续、可导，且f"(x)ex.

（0,x）情形一当x0时，由拉格朗日定理知使

exe0e(x0).整理有exex.因为e1，所以有exx.

（x,0）情形二当x0时，由拉格朗日中值定理知，使

e0exe(0x).整理有exxe.因为此时0e1，三边同时乘以x，0xex 所以exx成立.综上所述，当x0时，exx成立.从以上例题可以发现：灵活构造“a,b”的取值，不仅可使证明过程简单，有时甚至是解题的关键.2.2.3 辅助函数构造法

例2.6[4] 设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，又f(x)不为形如，使f"()AxB的函数．证明至少存在一点（ab）证明做辅导函数

g(x)f(a)则gx为形如AxB的函数．

因为f(x)不为形如AxB的函数，所以至少存在一点c(a,b)，使

f(b)f(a)(xa)，

baf(b)f(a).

ba

f(c)g(c),但f(a)g(a)，f(b)g(b).情形一 f(c)g(c)，此时

f(b)f(a)f(a)(ca)f(a)f(c)f(a)g(c)g(a)f(b)f(a)ba

cacacaba即

f(c)f(a)f(b)f(a).

caba（a,c）因为a,ca,b，所以由中值定理知1，使

f(c)f(a) ，

caf(b)f(a)从而有 f"(1).

ba f"(1)情形二 f(c)g(c)，此时

f(b)f(a)f(b)f(a)(ca)f(b)f(c)g(b)g(c)baf(b)f(a)， bcbcbaba即

f(b)f(c)f(b)f(a).

bcba因为c,ba,b，所以由拉格朗日中值定理，2(c,b)使得

f"2从而有

f"2fbfc，

bcfbfa.ba综上所述，在a,b内至少有一点使原式成立.证毕. 许多证明题都不能直接应用定理进行证明．利用拉格朗日中值定理证明问题时，如何构造辅助函数，是证明的关键.

3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的开区间a,b内有直到n1阶导数，则对任一点x0(a,b)，有

f""(x0)f(n)(x0)f(n1)()2nf(x)f(xo)f"(xo)(xx0)(xx0)(xxo)(xx0)n12!n!(n1)! 其中是x0与x之间的某个值，上式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函数展开点x(a,b)的不同情况来证明不等式.3.2 利用泰勒公式证明不等式 3.2.1 中点取值法

选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取x为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式.下面以实例说明.例3.1[5] 设在区间a,b内，f""(x)> 0，试证：对于a,b内的任意两个不同点x1和x2，有 f(x1x2f(x1)f(x2)).22f""xx02，

2!证明将f(x)分别在a及b处展开，得

fxfx0f"x0xx0其中是x0与x之间的某个值.上式中分别取xx1及x2，

f""1x1x02,x1,x0；

2!f""2x2x02,x0,x2. fx2fx0f"x0x2x02! fx1fx0f"x1x0上面两式相加，得

fx1fx22fx0f""1x1x02f""2x2x02.2!2!因为f""(x)0，所以，fx1fx22fx0，即

xxfx1fx2 f12.

22注 (1)若题中条件“f""(x)0”改为“f""(x)0”，而其余条件不变，则结论改为

xxfx1fx2 f12.

22(2)若例1的条件不变，则结论可推广如下：

对a,b内任意n个不同点x1,x2xn及1，2，,n(0,1)且11，有

i1nnn fixiifxi.

i1i1例3.2 设函数f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，且f(ab)0，证明 2abMbafxdx,其中Mmaxf""x.

axb243证明将f(x)在x0ab处展开，得 2 fxfx0f"x0xx0其中是 x0与x之间的某个值.因为f(f""xx02.2!ab)0，所以有 2 fxf"x0xx0上式在a,b作定积分，然后取绝对值

f""xx02， 2!abfxdxf""2f"xxxxx000dx a2!b1 2baf""x-x02Mdx2M3x-xdxb-a.0ab224 即

bafxdxMba3.2

3.2.2 端点取值法

当条件中出现f"(a)f"(b)0，而欲证式中出现厂f(a),f(b),f""()，展开点常选为区间两端点a,b,然后在泰勒公式中取x为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式.例3.3 函数f(x)在区间[a，b]上二阶可导，且f"(a)f"(b)0，证明：在a,b内至少存在一点，使得f""4fbfaba2. 证明将f(x)分别在a及b处展开，得

f""1xa2,1a,x；

2!f""2xb2,2x,b. fxfbf"bxb2!ab上面两式中取x，

2 fxfaf"axabaf""1baab ffaf"a；

22!222baf""2baba ffbf"b.

222!22上面两式相减，并由f"(a)f"(b)0，得

2bafbfa8(ba)2f""2f""1.f""2f""18 记

f""maxf""1f""2.其中，1或2.于是，有

2bafbfa4f"",即f""4fbfaba2. 3.2.3 极值取值法

当题中不等式出现函数的极值或最值项，展开点常选为该函数的极值点或最

值点.例3.4[6] 设函数f(x))在区间a,b内二阶可导，且存在极值f(c)及点p(a,b)，使f(c)f(p)0，试证：至少存在一点(a,b)，使f"(c)f""()0. 证明将f(x)在x0c处展开，得

fxfcf"cxc其中， 介于c与x之间.上式取xp，并由f"(c)0，得

fpfcf""pc2， 2!f""pc2， 2！其中介于c与p之间.两边同乘以f(c)，得

fpfcf2cf""2fcpc， 2!ab（1）当x0a,时，上式取xa，得

2fx0即

f""ax02baf"",a,x0.2!82f""8ba2fx0.ab （2）当x0a,时，上式取xb，同理可得

2f""8ba2fx0,x0,b.由(1)及(2)得，存在(a,b)，使得

f""8maxfx.

ba2xa,b再由f""(x)的连续性，得

maxf""xxa,b8ba2xa,bmaxfx

注 (1)当题中条件“连续”去掉，而其他条件不变时，结论可改为在a,b内至少存在一点，使得

f""8ba2xa,bmaxfx成立

(2)当题中条件添加maxf(x)0时，结论可改为：在a,b内至少存在一点

xa,b，使得f""()8maxf(x)成立.2xa,b(ba)3.2.4 任意点取值法

当题中结论考察f(x),f"(x),f""(x)的关系时，展开点常选为该区间内的任意点，然后在泰勒公式中取x为适当的值，并对某些项作放缩处理，得所要的不等式.例3.5[7] 函数f(x)在区间a,b上二阶可导，且f(x)≤A，f""(x)≤ B，其中A，B为非负常数，试证：f"x2ABba，其中x(a,b).ba2f""xx02， 2! 证明将f(x)在x0(a,b)处展开，

fxfx0f"x0xx0其中介于x0与x之间. 上式中分别取xa及b，

fafx0f"x0xx0fbfx0f"x0xx0f""1ax02,1a,x0；

2!f""2bx02,2x0,b.2! 上面两式相减，得

fbfaf"x0ba122f""2bx0f""1ax0.2

即

f"x0fbfa122f""2bx0f""1ax0.ba2ba故

f"x01fbfa1f""2bx02f""1ax02 ba2ba2ABbx02x0a2 ba2ba  2ABb-a.b-a22AB即f"xba，再由x0的任意性，

ba2故有

f"x2ABba，其中x(a,b).ba2例3.6 函数f(x)在区问a,b上二阶可导，且f(a)f(b)0，Mmaxf""(x)，试证x[a,b]baMbafxdx.123证明将f(x)在ta,b处展开，

fxftf"txt其中车于t与x之间.上式中分别取xa及b，

faftf"txtf""1at2,1a,t；

2!f""2bt2,2t,b.fbftf"txt2!f""xt2， 2!

上边两式相加，得

ft1122f"tab2tf""1atf""2bt.24上式两端在a,b上对t作积分，

ba1b1b22ftdtf"tab2tdtf""1atf""2btdt

2a4ab1b22ftdtf""1atf""2btdt.a4a于是有

ba1b22ftdtf""1atf""2btdt，

8aba1b2ftdtaf""1atdt8b2 [f""bt]dt2abMb2 aatdt8即

Mba.btdta1232baMbafxdx.

123注从不等式的特点出发，应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点，已知区间的两端点，函数的极值点或最值点，已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式.

4 柯西中值定理在不等式证明中的应用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理设函数fx，gx满足

（1）在闭区间a,b上连续；

（2）在开区间a,b内可导；

（3）对任一xa,b有gx0，

则存在a,b，使得fbfa/gbga=f"/g".4.2 利用柯西中值定理证明不等式

例4.1 设函数fx在-1,1内可微，f00,f"x1，证明：在-1,1内，fx1.

证明引入辅助函数gxx,在0,x或x,o上x1,1应用柯西中值定理，得

fx-f0f"f".gx-g01

因为f00,g00,且fx1,所以

fxf1fxx1.gx例4.2[8] 证明不等式1xlnx1x21x2x0.证明令fxxlnx1x2,gx1x21,则上式转化为fxgxx0.由于上应用柯西中值定理，得



fxfxf0f,gxgxg0g于是fxgx又转化为f"g".

因为

2ln1fg1212112ln12

1而当x0时，12ln120,所以

f1fgfxgx, g即

1xlnx1x21x2.例4.3[9]

若0x1x2x2x1

2，求证：ex2ex1cosx1cosx2ex1.

x1ex2ex1ex1，证明证明eecosx1cosx2e，实际上只需证

cosx1cosx2设ftet,gtcost,则ft,gt在x1,x2上，满足柯西中值定理条件，所以

fx2fx1f"c cx1,x2.gx2gx1g"cex2ex1ee即

0x1cx2.cosx2cosx1sinc2ex2ex1cosx1cosx2ec1cosx1cosx2eccosx1cosx2ex1.sinc其中用到11及ex是单调增加函数.sinc

5 积分中值定理证明不等式

5.1积分中值定理

定理5.1(积分第一中值定理) 若fx在区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点使得

fxdxfba,ab.

ab 定理5.2(推广的积分第一中值定理) 若fx,gx在闭区间a,b上连续，且gx在a,b上不变号，则在a,b至少存在一点，使得

fxgxdxfgxdx,ab.

aabb5.2 利用积分中值定理证明不等式

例5.1[11]

11x91dx. 证明

1010201xb 证明估计积分fxgxdx的一般的方法是:求fx在a,b的最大值Ma和最小值m，又若gx0，则

mgxdxfxgxdxMgxdx.

aaabbb本题中令

fx因为

111，x0,1.21x10x1.,gxx90，1x所以

111119x919dxxdxdxx.0001010221x例5.2 证明2e14ex2xdx2e2.

02 证明在区间0,2上求函数fxex2x的最大值M和最小值m.

fx2x1ex2x，令fx0，得驻点x1.21112上的最小值，而f2e2为比较f，f0，f2知fe4为fx在0，222上的最大值.由积分中值定理得 fx在0，e即

14200exxdxe220，

222eex2xdx2e2.

0142注由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如1和2例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.

结束语

深入挖掘渗透在这一定理中的数学思想，对于启迪思维，培养创造能力具有重要意义.伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系” ．数学中存在着概念之间的亲缘关系，存在着理论结构各要素之间的联系，存在着方法和理论之间的联系，存在着这一分支邻域与那一分支邻域等各种各样的联系，因此探索数学中各种各样的联系乃是指导数学研究的一个重要思想．实际上，具体地分析事物的具体联系，是正确认识和改造客观世界必不可少的思维方式在一定的意义上说，数学的真正任务就在于揭示数学对象之间、数学方法之间的内在固有联系，这一任务的解决不断推动数学科学向前发展．

中值定理在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明.今后应当注重研究中值定理各定理之间的联系，更好的应用中值定理解决不等式的证明.

中值定理是一条重要定理，它在微积分中占有重要的地位，起着重要的作用，

参考文献

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致谢

从2008年9月到现在，我在黄淮学院已经渡过接近四年的时光．在论文即将完成之际，回想起大学生活的日日夜夜，百感交集.在大学学习的四年时间里，正是老师们的悉心指导、同学们的热情关照、家人的理解支持，给了我力量，从而得以顺利完成学业．在此对他们表示诚挚的谢意! 本论文是在导师钟铭的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.他对数学理论在经济，金融领域中的应用的想法和建议，使学生受益匪浅、铭刻终生.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

感谢数学科学系其他老师讲授的数学基础课程，为我夯实了数学研究的理论基础，他们是李东亚老师、魏本成老师、庞留勇老师、侯亚林老师等．感谢数学系全体领导、老师、同学创造了一个宽松，自由的学习环境.此外我还感谢室友冯克飞、王宁对我的论文完成过程中给我的指导，她们深厚的数学功底以及对数学应用软件操作等方面的知识给了我很大的帮助．

最后深深地感谢我的父母，把最诚挚的感谢送给他们，感谢他们无微不至的关心和支持，感谢他们的无私奉献以及为我所做的一切．

中值定理函数与其导数是两个不同的的函数；
而导数只是反映函数在一点的局部特征；
如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；
中值定理的主要作用在于理论分析和证明；
同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]。

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。

定理证明

价值证明

勾股定理证明

高斯定理证明

增值税证明

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