初中数学变式教学研究
——牡丹江市第九中学 范超
1、多项式的项数、次数分别是多少？
变式1：关于x、y的多项式的是五次四项式，求m的值（m为正整数）。
变式2：关于x、y的多项式的是四次四项式，求m的值（m为正整数）。
变式3：关于x、y的多项式的是四次三项式，求k、m的值（m为正整数）。
2、已知：，求的值。
变式1：已知：，求的值；
变式2：已知=3，求的值；
变式3：已知，求的值。
3、已知：按一定规律排列的一列数依次为1，2，4，8，16，……，按此规律排列下去第7个数是？第n个数是？
变式1、按一定规律排列的一列数依次为2，4，8，16，32，……，按此规律排列下去第7个数是？第n个数是？
变式2、按一定规律排列的一列数依次为……，按此规律排列下去第7个数是？第n个数是？
变式3、按一定规律排列的一列数依次为……，按此规律排列下去第7个数是？第n个数是？
4、已知：将两个等腰直角三角板如图1放置，其中一个三角板的45 °角顶点 与另一个三角板斜边的中点重合且直角边互相垂直, △BME 与△ NEA相似吗？若AC=BC=4,则BM·AN的值？
变式1：如图2：当绕着这个三角板的45°角顶点 逆时针旋转,旋转角α(0°＜α＜ 45°),那么△BME与△NEA 相似吗 ？BM·AN的值改变吗?
变式2：如图3：当绕着这个三角板的45°角顶点逆时针旋转,旋转角α(45°＜α＜90°),那么△BME与△NEA 相似吗 ？BM·AN的值改变吗?
变式3：在图2和图3中，AC=BC=4,在BM·AN=8的条件下,设AN=x，两个三角板的重叠面积为y，求y与x的函数关系式？
MAC
M
A
C
E
D
B
F
(N)
图1
M
A
C
E
D
B
F
N
G
图3
M
A
C
E
D
B
F
N
图2
图35、已知：正方形ABCD，A在直线MN上，正方形绕点A 顺时针旋转，过点C作BE⊥MN于E，过点B作CF⊥MN于F，当点E与点A重合时，如图1，易证：AF+CF=2BE，
图3
变式1：当正方形绕点A 转到图2的位置时，AF、CF与BE有怎样的数量关系？
变式2：当正方形绕点A 转到图3的位置时，AF、CF与BE有怎样的数量关系？
变式3：当正方形绕点A 转到图4的位置时，AF、CF与BE有怎样的数量关系？
MA
M
A
B
C
D
N
（E）
（F）
M
A
B
C
D
N
E
F
图1
图2
A
A
B
C
N
E
F
D
图3
MA
M
M
A
B
C
N
E
F
D
图4
6、如图1，在锐角△ABC中，BN、CM分别均是高，其中有几对相似三角形？
变式1、连接MN,图2中共有几对相似三角形？
变式2、在图2中，△AMN和△ACB相似吗？若相似，请予以证明；若不相似，请说明理由。
变式3、若∠BAC=60°，G为BC的中点，连接MG、NG，△MNG是怎样的三角形，写出猜想并给予证明。
ABC
A
B
C
M
N
图3
G
A
B
C
M
N
图2
A
B
C
M
N
图1
7、如图1，正方形ABCD的边CD在正方形CEFG的边CE上，连接BE、DG，BE、DG的数量关系和位置关系分别是？
变式1、如图2，连接AG、AE、EG，若正方形ABCD的面积是4，正方形ECGF的面积是9，则△AEG的面积是多少？
变式2、如图3，矩形ABCD的边CD在矩形CEFG的边CE上，且,连接AG、AE、EG，若矩形ABCD的面积是4，矩形ECGF的面积是9，则△AEG的面积是多少？
变式3、如图4，平行四边形ABCD的边CD在平行四边形CEFG的边CE上，且,连接AG、AE、EG，若平行四边形ABCD的面积是4，平行四边形ECGF的面积是9，则△AEG的面积是多少？
A
A
B
G
D
F
E
C
图2
A
A
B
G
D
F
E
C
图1
AA
A
A
D
E
A
F
G
图4
A
B
C
D
E
F
G
图3
8、已知：如图1，燃气管道上修建一个泵站，分别向A、B两地供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?
变式1、如图2，已知正方形ABCD，P、Q分别为BC、CD边的点，且BP=3，DQ=1，E为对角线BD上的一个动点，求E在什么位置使EP+EQ的值最小?
变式2、如图3，有A、B两村位于河流L两侧，为了便于通行，两村商店要在河上建造一座桥梁，问桥梁应建在何处，才能使两村的路程最短?
变式3、如图4，有A、B两厂位于河流MN同侧，现拟在河边修建一座抽水站，同时供应两厂及沿岸设施的用水，且在沿岸设施供水的管道为a。问抽水站应该建在何处，才能使所需要的供水管道最短？
P
P
Q
A
B
C
D
图2
A
A
BA
l
图1
A
A
河流l
BA
图3
A
A
BA
l
a
图4
9、如图1，∠B=2∠C，∠BAC=90°，AD⊥BC，求证：AB+BD=DC。
变式1、如,2，AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上，AB、AE、CE的长度有什么关系？AB+BD与DC有什么关系？
变式2、如图3，三角形纸片ABC中，将纸片的一角折叠，使B点恰好落在BC边上的E点，折痕为AD，且满足AB+BD=DC，则，∠B与∠C之间存在一种数量关系，并说明理由。
变式3、如图4，在△ABC，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，则 AB、BD、DC间存在怎样的数量关系并加以证明。
AB
A
B
E
D
C
图1
A
B
E
D
C
图2
AB
A
B
E
D
C
图4
A
B
E
D
C
图3
10、已知：如图1，正方形ABCD中,∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转,它的 两边分别交BC、CD于点M、N． 当∠MAN绕点Ａ旋转到BM≠DN时（如图1）, BM﹑DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
变式1、如图2，正方形ABCD中, M、N分别是BC、CD上的点，且∠MAN=45°,AG⊥MN，AG与正方形的边长之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
变式2、如图3，△AMN中，∠MAN=45°，AG⊥MN，MG=1，NG=3，求AG的长及
△AMN的面积。
变式3、如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE是∠ABC的角平分线，且CE=2DE，若四边形ADEB的面积为1，则梯形的面积为？
变式4、如果凸八边形形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长。
AMNN
A
MN
N
G
图3
B
C
D
M
N
图2
A
G
B
C
D
M
N
图1
A
D
D
A
B
C
E
图4
G
G
H
C
D
B
E
A
F
图5
初中数学变式教学研究
——牡丹江市第九中学 范超